4.2.1 第一课时 等差数列的概念与通项公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第一课时　等差数列的概念与通项公式 学习目标 1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．　2.体会等差数列与一元一次函数的关系．　3.能利用等差数列的概念与通项公式解决相关问题． 知识点一　等差数列的定义 1．(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，且n∈N*)． 等差数列概念的理解： (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则不是等差数列． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式是a＋b＝2A． (1)任意两个实数都有等差中项． (2)应用等差中项法可证明一个数列为等差数列.2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}为等差数列． [微练1]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．(　　) (2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．(　　) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(　　) 提示：(2)是公差为－1的等差数列． (3)公差d＝a8－a7. 答案：(1)√　(2)×　(3)× [微练2]　已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　) A．　　 B．±　　 C．3　　 D．±3 解析：C　由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3. 知识点二　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d． 等差数列的通项公式涉及四个量． 根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项． [微练3]　等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________． 解析：由题知，a1＝－3，d＝2， 所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5. 答案：2n－5 知识点三　等差数列与一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，其函数值增加d； (3)若d>0，则数列{an}是递增数列；若d<0，则数列{an}是递减数列；若d＝0，则an＝a1，数列{an}是常数列． [微练4]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)当公差d＝0时，数列不是等差数列．(　　) (2)若点(n，an)在函数f(x)＝kx＋b的图象上，其中k，b为常数，则数列{an}是等差数列．(　　) (3)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (4)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．(　　) 提示：(1)当公差d＝0，数列是等差数列． 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 题型一　等差数列的概念 1．(多选)下列数列可以构成等差数列的前三项的是(　　) A．2019，2021，2023　　 B．2023，2021，2019 C．2020，2019，2023 D．2020，2020，2023 解析：AB　选项A、B中均满足a2－a1＝a3－a2，能构成等差数列的前三项． 2．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列 解析：A　由题意an＝2n＋1，则an＋1－an＝2，所以数列{an}是公差为2的等差数列． 3．已知3和k的等差中项是2k，则实数k的值为________，3k与9k的等差中项为________． 解析：∵3和k的等差中项是2k， ∴3＋k＝4k，则k＝1. 故3k与9k的等差中项A＝(3k＋9k)＝6. 答案：1　6 1．三个数a，b，c成等差数列的充要条件是2b＝a＋c，该条件可解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题． 2．等差数列概念的注意事项：(1)数列{an}中，首项a1和公差d是等差数列的基本量，两个量一旦确定，则数列{an}完全确定；(2)能根据条件和通项公式准确计算两个基本量a1和d. 题型二　等差数列的通项公式及应用 　(1)已知等差数列{an}中，an＝2n－16，则公差d＝________，当＝10时