4.2.1 第二课时 等差数列的性质及应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　等差数列的性质及应用 学习目标 1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．　2.理解等差数列的性质．　3.会运用等差数列的性质解决一些问题． 知识点一　等差数列通项公式的推广 等差数列{an}中，设公差为d. (1)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)； (2)d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 公式(2)表示任意两点(n，an)，(m，am)连线的斜率为d. [微练1]　在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝(　　) A．－1　　 B．2　　 C．4　　 D．6 解析：B　由题意知a10－a2＝8d， 则8d＝16，∴d＝2. 知识点二　等差数列的性质 设{an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. [微练2]　在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　) A．－3 B．3 C． D．－ 解析：B　由题意知，a7＋a2＝a4＋a5， ∴a2＝a4＋a5－a7＝15－12＝3. [微练3]　在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________． 解析：由题意知，a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， ∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝2×90＝180. 答案：180 知识点三　由等差数列衍生的新数列 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． [微练4]　已知数列{an}是等差数列，公差d＝2，则数列{a3n}的公差为________． 解析：设{a3n}的公差为d′， ∵数列{an}的公差d＝2，∴d′＝3d＝6. 答案：6 [微练5]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)在等差数列{an}中，a10＝a3＋7d.(　　) (2)若数列{an}为等差数列，则数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…也成等差数列．(　　) (3)等差数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成等差数列．(　　) (4)在等差数列{an}中，等式a15＝a7＋a8一定成立．(　　) 提示：∵a15＝a1＋14d，a7＋a8＝2a1＋13d，又a1与d不一定相等，∴a15＝a7＋a8不一定成立，(4)错． 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 题型一　等差数列性质的应用 　(1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32　　 B．27　　 C．24　　 D．16 解析：C　法一：设等差数列{an}公差为d， 则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24. 法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7. 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5. ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24. (2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________． 解析：由等差数列性质知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)， 则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27. 答案：27 等差数列运算常用的两种思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，d，然后求其他． (2)解题时要善于观察等差数列的项的和、差关系以及倍数关系，尝试运用等差数列的项的性质解题，简化解题过程． ①an＝am＋(n－m)d，m，n∈N*. ②利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m，n，k，l，s∈N*)⇔am＋an＝ak＋al＝2as. 1．(1)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　) A．7 B．14 C．21 D．7(n－1) 解析：B　由题意知，a1＋a17＝