第四章 数列 章末复习课-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

章末复习课 专题一　等差、等比数列的判定 1．判定等差(等比)数列的主要方法：(1)定义法；(2)等差(等比)中项性质；(3)通项公式． 2．判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，从而构造等差或等比数列． 　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列，并求数列{cn}与{an}的通项公式． 证明：(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1 ＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. ＝＝ ＝＝2. 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以－＝3. 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2. 则cn＝c1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1， 因此an＝2n－2·cn＝2n－2·(3n－1)． 1．等差、等比数列的证明： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列； (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；a＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列． 2．(1)借助通项公式或前n项和的特征也可判定等差或等比数列，两种方法常用于选择、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可． 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)证明：{an－1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：∵Sn＝n－5an－85， ∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85， 两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1， 整理得：an＋1＝an＋， ∴an＋1－1＝(an－1)， 又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14， ∴a1－1＝－14－1＝－15， ∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)可知an－1＝－15×， 因此an＝1－15· . 专题二　等差、等比数列的基本计算与性质 1．数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，解题的关键是利用方程思想求出基本量． 2．等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值以及数列“片段和”，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点．活用数列的性质可优化解题过程，体现了整体思想． 1．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝(　　) A．　　 B．16　　 C．15　　 D． 解析：A　设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3＝a1a4＝2a1， 则a4＝2；由a4与2a7的等差中项为17知， a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16. 所以q3＝＝8，即q＝2， 所以a1＝＝， 则S6＝＝. 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 解析：C　由等比数列前n项和的性质，知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比数列， ∵S5＝2，S10＝6，∴S10－S5＝6－2＝4， ∴S15－S10＝＝＝8， ∴a16＋a17＋a18＋a19＋a20 ＝S20－S15＝＝＝16. 3．(2023·湘潭高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为d， 依题意，得 联立两式，解得a1＝2，d＝1， 所以a7＝a1＋6d＝8. 答案：8 4．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为________，此时n＝________. 解析：设等比数列{an}的公比为q， ∴⇒ 解得a1＝8，且q＝， ∴an＝8×＝， ∴a1a2…an＝ ＝. 记t＝n(n－7)＝－，又n∈N*， ∴当n＝3或n＝4时，tmin＝－6， 由于y＝为减函数， ∴a1a2…an的最大值为26＝64. 答案：64　3或4 专题三　数列求和 数列求和是高考的热点，在数列求和时，根据数列通项公式的特征选择求和方法，常用的方法：转化分组、裂项相消、倒序相加、错位相减等．题型多以解答题的形式，思维要求高．当题目涉及等比数列求和时要注意