第五章 一元函数的导数及其应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评课时作业（人教A版）

课时规范训练 基础巩固练 1．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　) A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值 C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值 解析：C　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x∈(－1，1)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－1，1)上单调递减， 无最大值和最小值，也无极值． 2．函数f(x)＝x2ex，x∈[－2，1]的最大值为(　　) A．4e－2　　 B．0　　 C．e2　　 D．e 解析：D　因为f′(x)＝(x2＋2x)·ex＝x(x＋2)·ex，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2， 所以f(x)在(－2，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增．又f(－2)＝＜1，f(1)＝e＞1，所以f(x)max＝e. 3．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为(　　) A．1 B．4 C．－1 D．0 解析：B　由题意得，f′(x)＝3ax2，则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，所以f′(x)＝6x2≥0， 故f(x)在[1，2]上单调递增， 则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4. 4．函数f(x)＝的最大值为(　　) A．a B．(a－1)e C．e1－a D．ea－1 解析：D　f(x)＝，则f′(x)＝， 所以当x<1－a时，f′(x)>0；当x>1－a时，f′(x)<0. 所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增，在(1－a，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1－a)＝ea－1. 5．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　) A．f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B．f(－)是极小值，f()是极大值 C．f(x)没有最小值，也没有最大值 D．f(x)有最大值无最小值 解析：ABD　由f(x)>0得0<x<2，故A正确． f′(x)＝(2－x2)ex， 令f′(x)＝0，得x＝±， 当x<－或x>时，f′(x)<0， 当－<x<时，f′(x)>0， ∴当x＝－时，f(x)取得极小值， 当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确． 当x→－∞时，f(x)<0， 当x→＋∞时，f(x)<0，且f()>0， 结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确． 6．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：A　f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0. 故f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， 故f(x)min＝f(0)＝1＋a. 若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，∴a>－1. 7．设函数f(x)＝，x∈[1，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：由f(x)＝得f′(x)＝， 令f′(x)>0，则1－ln x>0，解得0<x<e； 令f′(x)<0，则1－ln x<0，解得x>e. ∴函数f(x)在[1，e]上单调递增，在(e，4]上单调递减，且f(1)＝0，f(4)＝>0， ∴f(x)的最大值为f(e)＝＝， f(x)的最小值为f(1)＝0. 答案：　0 8．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________． 解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)， 又因为f′(x)＝4x－， 所以由f′(x)＝0解得x＝. 又f(x)在(k－1，k＋1)内存在最小值， ∴解得1≤k<. 答案： 9．已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值． 解：f′(x)＝3x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. (1)当≤0，即a≤0时， f(x)在[0，2]上单调递增， 从而f(x)max＝f(2)＝8－4a. (2)当≥2，即a≥3时， f(x)在[0，2]上单调递减， 从而f(x)max＝f(0)＝0. (3)当0<<2，即0<a<3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ 10．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求a，b的值； (2)求f(x)在上的最大值． 解：(1)f′(x)＝－2bx(x>0)． 由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，得即 解得 (2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－x＝. 令f′(x)>0，得