3.1椭圆讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：椭圆 知识点一、椭圆的定义 1.第一定义：（1）文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． （2）代数式形式：集合 ①若，则动点P的轨迹为椭圆； ②若，则动点P的轨迹P为线段F1F2； ③若，则动点P的轨迹P为空集． 2.第二定义：（1）若动点P（x,y）和定点F（c,0）的距离与它到定直线:的距离的比是常数（0<c<a）,则动点P的轨迹是椭圆. （2）椭圆的标准方程：焦点在轴，；焦点在轴，． 满足条件： （3）离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 知识点二：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 横、纵坐标 取值范围 ， ， 顶点 ，，， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 短半轴长=a 长半轴长=b 焦点坐标 焦距 半焦距=c 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点【三对称图形】 离心率 ， 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 知识点三：求椭圆标准方程常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，或者设为 （A＞0，B＞0且A≠B），可以避免讨论和繁杂的计算。 知识点四：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆的相交弦： 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 题型一：利用椭圆的定义与几何性质求值 典型例题 例题1．设是椭圆上任意一点，则m的取值范围是_________． 【答案】 由题可知： 例题2．直线与椭圆的位置关系是（ ） A．相离          B．相切          C．相交          D．无法确定 【答案】C 联立，则 所以直线与椭圆相交 故选：C 例题3．椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于A，B两点．若，则的值为（ ） A．10          B．12          C．16          D．18 【答案】B 由题可知：|AF1|+|BF1| +|AB|=4a=20，所以|AF1|+|BF1| =12 故选：B 例题4．若椭圆的离心率为，则（ ） A．3 B． C． D．2 【答案】D试题分析：由椭圆的离心率为，即， 所以，所以，故选D． 举一反三 1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D试题分析：由题意可知，所以椭圆方程为 2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据点与椭圆的位置关系即可求解.，所以故选：B. 3．直线和曲线的位置关系为_____. 【答案】相交 【解析】曲线为：可得 直线恒过，由知定点在椭圆内部， 所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交. 题型二：求椭圆的标准方程 典型例题 例题1．根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，长轴长等于20，离心率等于； （2）焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点； （3）在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 【答案】（1）（2）（3） （1）由题意知2a＝20，e＝， 所以a＝10，c＝8，从而b＝6. 又因为焦点在x轴上，