精品解析：上海市杨浦区同济大学第一附属中学2024届高三上学期开学考试数学试题

同一附中2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，满分54分） 1. 已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 2. 若幂函数在单调递减，则___________ 3. 若复数满足，则其实部__________. 4. 若，则__________. 5. 函数的单调递减区间是_________． 6. 已知点是中线上一点（不含端点），且，则满足的等式是__________. 7. 函数的部分图象如图，若，且，则__________. 8. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为__________. 9. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________. 10. 设表示事件发生的概率，若，则__________. 11. 已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________. 12. 艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设，已知，，的前项和为，则__________. 二、选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 16. 已知实数满足，记，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（满分76分） 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，平面，，，又，，为中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 18. △ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小． 19. 已知数列满足正整数 （1）求数列通项公式； （2）设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围． 20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）若点，点为椭圆上任意一点，求的最大值与最小值． （3）设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点． 21. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）已知对于恒成立，证明：当时，； （3）当时，不等式，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同一附中2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，满分54分） 1. 已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合并集运算，结合数轴即可得到结果. 【详解】由题意知，可得. 故答案为： 2. 若幂函数在单调递减，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】 幂函数具有形式 【详解】为幂函数 故，故或 或 在单调递减，故 故答案为： 3. 若复数满足，则其实部__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数相等的知识求得，进而求得的实部. 【详解】设， 依题意，， 即，所以，解得， 所以的实部为. 故答案为： 4. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ，而为锐角，所以. 故答案为： 5. 函数的单调递减区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求定义域，然后根据复合函数单调性可得. 【详解】由，即解得， 令， 由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为为增函数， 所以，由复合函数单调性可知，的单调递减区间是. 故答案为： 6. 已知点是的中线上一点（不含端点），且，则满足的等式是__________. 【答案】 【解析】 【分析】把用向量表示出来，利用三点共线可求答案. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以.