3.2.1 双曲线及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 情境引入 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题. 2 知识回顾 问题1 椭圆的定义是什么? 平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆 问题2 椭圆的标准方程是什么? 焦点在轴上 焦点在轴上 3 问题2：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 新知探究 下面先用信息技术探究一下 如图，在直线上取两定点及动点．在平面内取定点，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆. 椭圆 如果，则两圆相交，交点的轨迹是椭圆； 如果，两圆不相交，不存在交点轨迹. 5 问题3 如图，，点在线段外运动，动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？ 双曲线 点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支. 当点靠近定点时，； 当点靠近定点时， 点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数 (). 6 问题4：如何用数学语言描述双曲线的定义？ 把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 7 追问：定义中有哪些关键词？ 思考1：去掉“绝对值”，动点的轨迹是什么？ 把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线 ：表示靠近的一支． ：表示靠近的一支． 没有绝对值只能表示双曲线的一支 8 思考2：如果“常数为”，动点的轨迹是什么？ 把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线 点轨迹为中垂线. 9 把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线 思考3：如果，那么动点的轨迹是什么？ 表示以为端点的两条射线． 如果，动点的轨迹又是什么？ 轨迹不存在 10 问题4 类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 对称性，直线是它的一条对称轴 建系 化简 列式 设点 以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系. 11 l 由双曲线的定义得 类比椭圆标准方程的化简过程，化简得 两边同时除以，得 由双曲线定义知，，即，所以. 令，其中，代入上式， 得. 焦点在轴上 双曲线的标准方程 焦点分别是， 思考： 大小关系如何？ 13 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的把标准方程是什么？ l 焦点，的坐标分别是， 的意义同上，这个方程也是双曲线的标准方程. 焦点在轴上： 焦点在轴上： （1）左边是两个分式的平方差，右边是1； 双曲线的标准方程的特点： （2）系数为正的项的分母是 ，系数为负的项的分母是 与哪一个系数为正，焦点就在哪一个轴上 15 概念辨析 辨析1.判断正误. (1)在双曲线标准方程中，，，且.( ) (2)方程表示焦点在轴上的双曲线.( ) (3)方程表示双曲线.( ) × × √ C 辨析2. 若动点到点，的距离之差的绝对值为，则点的轨迹是( ). A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 16 练习 求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值 （1）焦点坐标为，. 距离之差的绝对值为 （2）焦点坐标为， （3）焦点坐标为， 17 双曲线与椭圆的区别与联系 定 义 方 程 焦 点 a.b.c的关系 椭 圆 双曲线 |MF1|+|MF2|=2a ||MF1|－|MF2||=2a F（±c，0） F（0，±c） F（±c，0） F（0，±c） a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2 18 例题精讲 例1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与,的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程. l 解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 . 由得又， 因此 所以，双曲线的标准方程为. 例2.已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程. l 解：如图，建立平面直角坐标系，使两点在轴上，并且原点与线段的中点重合. 设炮弹爆炸点的坐标为， 则，即. 又，所以，，. 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，因此 例题精讲 问题3：如图，点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨