数列不等式恒成立求取值范围问题讲义-2024届高三数学一轮复习

数列不等式恒成立求取值范围问题 1、常见的裂项公式： （1）； （2）； （3）； （4）. 2、数列求和的方法： （1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法 （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求； （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列，或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减； （5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 1．已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围. 3．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. （3）设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n，都有成立. 4．在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 5．已知是等比数列，满足，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，，求正整数的值，使得对任意，均有. 6．已知正项等差数列满足：，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值． 7．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围. 8．数列首项，前项和与之间满足. （1）求证：数列是等差数列；并求数列的通项公式； （2）设存在正数，使对任意都成立，求的最大值. 9．已知数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项和，求使得对所有都成立的实数的范围． 1．已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且，，成等差数列，等差数列的首项为1． (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和为，若对任意均有恒成立，求的范围． 2．已知数列的前项和满足，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，的前项和为，对任意，恒成立，求的取值范围. 3．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若实数使得对任意恒成立，求的取值范围. 4．设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值. 5．已知首项为的等比数列公比小于0，其前n项和为，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若实数a使得对任意恒成立，求a的取值范围. 6．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和为，当对任意都成立时，求实数k的取值范围. 1．已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 2．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有. (1)求数列的通项公式； (2)若（n为正整数），求数列的前n项和； (3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围. 3．已知正项数列的前n项和为，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，它的前n项和为，若存在正整数n，使不等式成立，求实数的取值范围. 4．已知数列中，，. （1）设，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）是数列的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围. 5．已知数列的前n项和为，，． （1）证明数列是等差数列，并求出； （2）求； （3）令，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 6．在数列中，，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列的前n项和为，且对任意正整数n恒成立，求实数m的取值范围. 7．已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （