四川省宜宾市叙州区第一中学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学（理）试题

叙州区一中高2021级高三10月考试 数学（理工类） 本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟. 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合满足，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则 A． B． C．2 D． 3．若函数，则 A． B． C． D． 4．函数在上的图象大致为 A． B． C． D． 5．已知函数，，则的值为 A．1 B．0 C． D． 6．若，，则 A． B． C． D． 7．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为 A． B． C． D． 8．若，则 A． B． C． D．1 9．已知函数，则 A． B．函数有一个零点 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于点对称 10．如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为    A． B． C． D． 11．将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为 A． B． C． D． 12．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 第II卷 非选择题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．展开式中的常数项为 . 14．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则 . 15．在上单调递减，则实数m的最大值是 ． 16．若存在，使得，则的取值范围是 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12分）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象． (1)若为奇函数，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)已知，，求△ABC的面积. 19．（12分）设为实数，函数，． (1)求的极值； (2)对于，，都有，试求实数的取值范围． 20．（12分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，是边的中点. (1)求证：； (2)，，平面与平面所成二面角为，求直线 与平面所成角的余弦值. 21．（12分）已知，且0为的一个极值点． (1)求实数的值； (2)证明：①函数在区间上存在唯一零点； ②，其中且． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22.在平面直角坐标系xOy中，设曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为． (1)求曲线的普通方程； (2)若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设函数. （1）解不等式； （2）当x∈R，0<y<1时，证明：. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 叙州区一中高2021级高三10月考试 数学（理工类）参考答案 1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．D 10．A 11．B 12．B 13． 14． 15． 16． 17．解：（1）易知， 向左平移个单位长度得， 因为为奇函数，所以，故， 因为，所以或或； （2）由（1）知， ， 则由题意可知， 结合，取时分别得，， 即. 18．解：（1）由已知， 所以， 结合余弦定理，， 化简得：，所以． （2）由正弦定理知，即，又，所以， 显然，即，故， 由， 又，则， 所以的面积. 19．解：（1），当时，；当时，； 即函数在上单调递减，在上单调递增； 函数的极小值为，无极大值. （2）由（1）可知，函数在上单调递增，则. ，，当时，；当时，； 即函数在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以，. 即.因为，，都有， 所以的值域是的值域的子集.即，解得.即实数的取值范围为. 20．（1）证明：如图所示，连接，因为是等边三角形，所以 在和中，因为，， 所以，所以， 又因为是边的中点，所以，. 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）解：在中，过作的垂线，交与点， 由（1）可得平面，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 又由，且平面与平面所成二面角为， 因