微专题复习 基本不等式讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

微专题复习 基本不等式 【基础知识】 一、重要不等式：若，则，当且仅当时取等号； 二、基本不等式： 若，则（或），当且仅当时取等号. 其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 1.常用变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤，常用于求积的最大值； （注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．） 2.重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 【典例剖析】 题型一 直接利用基本不等式求最值 1. 若，都为正实数，且，则的最大值是 2. 若正实数满足.则的最大值为 3. 若，都为正实数，且，则的最小值为 题型二 整式凑分式分母形式 【知识点】 对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。 4. 若，则的最小值为 5. 已知，则函数的最大值为 题型三 分离常数构造“对勾型” 【知识点】 分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 6. 已知，则函数的最小值为 7. 函数在的条件下的最小值为_________；此时_________． 题型三 “1”的代换 【知识点】（1）利用两个量的乘积或和为定值，构造“1”的表达式; （2）将所求和“1”的表达式相乘，乘积出现对构型，再利用均值不等式求解。 （3）若条件式是(a，b，c都是正常数)，常常进行常数代换. 8. 已知为正数，且，则的最小值为 9. 已知，且，则+的最小值为 10. 已知,且=xy,则的最小值为 11. 已知，且，则的最小值是 题型四 分母构造型 【知识点】 *单分母构造型：形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 12. 已知正实数，y满足，则的最小值为 *双分母构造型：形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 13. 已知，则的最小值为 14.若，，且，则的最小值为 题型五 消参法【反解代入型】 【知识点】 当存在两元且条件等式和所求等式之间互化难以实现时，可以借助反解代入消元，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解。 15.已知正实数a，b满足，则的最小值为 16.已知，，且，则的最小值为 17.已知正实数a，b满足,则的最小值为 题型六 双换元 【知识点】 若题目中含有求两个分式的最值问题，最常用的方法就是双换元，分别运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 18. 若，且，则的最小值为 ． 19.若，且，则的最小值为_________ 学科网（北京）股份有限公司 $$