精品解析：上海市位育中学2024届高三上学期开学考试数学试题

位育中学2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题 1. 双曲线的焦距为______. 2. 若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________． 3. 已知，则_____________． 4. 已知随机变量X服从正态分布，且，则_____________． 5. 一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则_______． 6. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________． 7. 若直线与曲线交于两点、，则的值为________. 8. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足如下条件： （1）在闭区间上是连续不断； （2）在区间上都有导数. 则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”.函数在区间上的“拉格朗日中值”____. 9. 袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件A＝“两球是同一颜色”，事件B＝“两球均为红球”，则________． 10. 已知函数的导函数的图像如图所示，给出以下结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0； ③在处取得极大值； ④在处取得极小值．正确的序号是______ 11. 设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则___________. 12. 已知函数，令，若函数图象在各个象限均有分布，则实数的取值范围为______. 二、选择题 13. 设角始边为轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“”的…． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A. 与，都相交 B. 与，都不相交 C. 至少与，中的一条相交 D. 至多与，中的一条相交 15. 关于函数，下列判断错误的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线方程为 B. 是函数的一个极值点 C 当时， D. 当时，不等式的解集为 16. 对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则（ ）. A. 、中仅是的充分条件 B. 、中仅是的充分条件 C. 、均是的充分条件 D. 、均不是的充分条件 三、解答题 17. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 18. 已知函数，设． （1）当时，解关于不等式； （2）对任意的，函数的图象总在函数的图象的下方，求正数的范围． 19. 已知离心率为的椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，为左右焦点，为椭圆上的点，且．直线过椭圆外一点，与椭圆交于两点，满足． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求三角形面积的取值范围； （3）对于任意点，是否总存在唯一的直线，使得成立，若存在，求出直线的斜率；否则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 位育中学2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题 1. 双曲线的焦距为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程，可直接得出焦距. 【详解】双曲线的焦距为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型. 2. 若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由充分条件定义直接求解即可. 【详解】“”是“”的充分条件，，， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 3. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，代值计算可得出的值. 【详解】因为，则，则. 故答案为：. 4. 已知随机变量X服从正态分布，且，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可求解． 【详解】由正态曲线的对称性可知，，， 所以，． 故答案为：． 5. 一个口袋中装有大小相同2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸