辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

1 东北育才学校科学高中部 2023-2024 学年度上学期 高二年级第一次阶段测试数学试卷 满分 150分 答题时间 120分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．已知?⃗? = (2, −1,3), ?⃗? = (−1,4, −2), 𝑐 = (1,3, 𝜆)，若?⃗?, ?⃗?, 𝑐三向量共面，则实数𝜆等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若𝜃 ∈ 𝑅，则直线𝑦 = 𝑥cos𝜃 − 1的倾斜角𝛼的取值范围为（ ） A．[ π 4 , 3π 4 ] B．[0, π 2 ) ∪ ( π 2 , 3π 4 ] C．[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π) D．[0, π 4 ] ∪ ( π 2 , 3π 4 ] 3．设入射光线沿直线𝑦 = 2𝑥 + 1射向直线𝑦 = 𝑥，则被𝑦 = 𝑥反射后，反射光线所在的直线方程是（ ） A．𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 B．𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 C．𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 D．3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 4．设 a为实数，若直线𝑙1: 𝑎𝑥 + 𝑦 + 1 = 0, 𝑙2: 𝑥 + 𝑦 + 𝑎 = 0, 𝑙3: (𝑎 2 + 𝑎 − 5)𝑥 + 3𝑎𝑦 + 5 = 0两两相交，且 交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的𝑙1, 𝑙2, 𝑙3有（ ） A．2 组 B．3 组 C．4 组 D．5 组 5．已知三棱锥𝑆 − 𝐴𝐵𝐶为正三棱锥，且𝐴𝐵 = 6，𝑆𝐴 = 2√15，点𝑀、𝑁是线段𝐴𝐶、𝑆𝐵的中点，平面𝛼与平 面𝑆𝐵𝐶没有公共点，且𝐴 ∈平面𝛼，若𝑙是平面𝛼与平面𝐴𝐵𝐶的交线，则直线𝑙与直线𝑀𝑁所成角的正切值为（ ） A． √10 4 B． √6 4 C． √15 5 D． √15 3 6．在平面直角坐标系中，已知点𝑃(𝑎, 𝑏)满足|𝑎| + |𝑏| = 1，记𝑑为点𝑃到直线𝑥 − 𝑚𝑦 − 2 = 0的距离。当𝑎, 𝑏, 𝑚 变化时，𝑑的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆 锥为直角圆锥．如图，△ 𝑆𝐴𝐵、△ 𝑆𝐶𝐷是直角圆锥𝑆𝑂的两个轴截面，且cos∠𝐵𝑂𝐶 = 1 3 ，则异面直线𝑆𝐴与𝐵𝐶所 成角的余弦值为（ ） A． 1 3 B． √6 6 C． √6 4 D． √6 3 试卷第 2 页，共 4 页 8．已知空间向量?⃗?, ?⃗?, 𝑐两两夹角均为60°，且|?⃗?| = |?⃗?| = 1, |𝑐| = 2.若向量?⃗?, ?⃗?满足?⃗? ⋅ (?⃗? + ?⃗?) = ?⃗? ⋅ ?⃗?, ?⃗? ⋅ (?⃗? + ?⃗?) = ?⃗? ⋅ 𝑐，则|?⃗? − ?⃗?|的最小值是（ ） A．1 − √3 2 B． √3 2 C．0 D． 1 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9．在下列四个命题中，正确命题的是（ ） A.若向量?⃑?, ?⃗⃑?所在的直线为异面直线，则向量?⃑?, ?⃗⃑?一定不共面； B.向量?⃑? = (2, −1,2), ?⃗⃑? = (−4,2, 𝑚)，若?⃑?与?⃑⃗?的夹角为钝角，则实数 m的取值范围为𝑚 < 5； C.直线 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 1的一个方向向量为(1, − 𝑏 𝑎 )； D.若存在不全为 0 的实数𝑥, 𝑦, 𝑧使得𝑥?⃑? + 𝑦?⃗⃑? + 𝑧𝑐 = 0，则?⃑?, ?⃗⃑?, 𝑐共面． 10．下列说法中，不正确的有（ ） A．已知点𝑃(𝑎, 2)，𝑄(1,2𝑎 − 1)，若直线𝑃𝑄的倾斜角小于135°，则实数 a的取值范围为(−∞, 3 2 ] ∪ (2, +∞) B．若集合𝑀 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑦−3 𝑥−2 = 3 }，𝑁 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎𝑥 + 2𝑦 + 𝑎 = 0 }满足𝑀 ∩ 𝑁 = ∅，则𝑎 = −6 C．若两条平行直线𝑙1: √3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0和𝑙2: √3