第六章 幂函数、指数函数和对数函数（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第五章 函数概念与性质（知识归纳+题型突破） 1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 2．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 3．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念． 4．掌握指数函数的图象及简单性质． 5．会用指数函数的图象与性质解决问题． 6．进一步熟练掌握指数函数的图象、性质． 7．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性． 8．能用指数函数解决实际问题． 9．理解对数函数的概念． 10．初步掌握对数函数的图象和性质． 1．幂函数的概念 我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数y＝xα的性质 (1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质： ①函数的图象过点(0，0)，(1，1)． ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数． (2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为： ①函数的图象都过点(1，1)． ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数的理解 (1)xα的系数为1；(2)xα的底数是自变量；(3)xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数． 4．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R． 5．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 定义域为R 值域 值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0 过定点 过定点(0，1)，图象在x轴上方 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 6．对指数函数的概念的理解 ①定义域是R．②规定底数a＞0且a≠1．③形式上的严格性，形如y＝ax(a＞0，a≠1)． 7．常用的函数模型 在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 8．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即a0＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 9．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)． 10．对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 11．反函数 (1)当a>0，a≠1时，y＝logax称为y＝ax的反函数．反之，y＝ax也称为y＝logax的反函数．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么反函数记作y＝f－1(x)． (2)互为反函数的两个函数，图象关于直线y＝x对称． 题型一　幂函数的概念 【例1】　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________． 思维升华 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1．形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． 巩固训练： 1．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________． 2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝(　　) A．2 B．1 C． D．0 题型二　幂函数的图象及应用 【例2】(1)函数y＝x的图象是(　　) (2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为