第六章 幂函数、指数函数和对数函数（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第六章 幂函数、指数函数、对数函数（压轴题专练） 题型一　幂函数性质的综合应用 【例1】已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的实数a的取值范围． 思维升华 幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值． 巩固训练 1．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{m|－2<m<2，m∈Z}，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0． 求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域． 2．已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数． (1)求实数k的值； (2)试判断是否存在正数p，使函数g(x)＝1－pf(x)＋(2p－1)x在区间[－1，2]上的值域为？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由． 题型二　指数函数的实际应用 【例2】某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0．1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少． (1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式； (2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ 思维升华 指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题． (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型． 巩固训练 1．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐． 乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次． 请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(1．25≈2．49，1．15≈1．6，1．325≈4) 2．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足解析式f(x)＝规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0．02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过________h后才能开车(精确到1 h)． 题型三　指数型函数性质的综合应用 【例3】已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数． (1)求a的值； (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 思维升华 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧． (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行． (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论． 巩固训练 1．已知函数f(x)＝·x3． (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0． 2．已知函数f(x)＝． (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． 题型四　对数型函数性质的综合问题 【例4】求下列函数的值域． (1)y＝log2(x2－4x＋6)；(2)y＝log2(x2－4x－5)． 思维升华 对于y＝logaf(x)型函数，在函数定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． 题型五 　综合应用 【例5】已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间． 思维升华 含对数式的函数奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单． 巩固训练 1．已知f(x)＝log4(4x－1)． (1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性； (3)求f(x)在区间上的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 幂函数、指数函数、对数函数（压轴题专练） 题型一　幂函数性质的综合应用 【例1】已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的实数a的取值范围． 【解析】因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0， 解得m<3．又因为m∈N*，所以m＝1，2． 因为函数y＝x3m－9的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1．