专题18 赵爽弦图模型与勾股树模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题18 赵爽弦图模型与勾股树模型 赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 模型1、弦图模型 （1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。 图1 图2 图3 （2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。 （3）内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 例1．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为b，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2022·浙江·温州市八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________． 例3．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（       ） A．19 B．44 C．52 D．76 例4．（2023·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 例5．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，．若，，则正方形的面积为（　　）    A．144 B．104 C．72 D．52 模型2. 勾股树模型 例1．（2022·上海市八年级期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则_______． 例2．（2023·浙江温州·八年级阶段练习）如图，在四边形中，，，，，分别以为边向外作四个正方形，已知正方形的面积为S（S为整数），则S的值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2022·成都市八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ） A． B． C． D． 例4．（2023春·全国·八年级专题练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 例5．（2023·浙江八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ． 例6．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、