专题14 直角三角形中的分类讨论模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题14 直角三角形中的分类讨论模型 模型1、直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。 1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。 ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。 例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，，当的值为 时，该三角形是直角三角形. 例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    例5．（2023春·广东·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为 ． 例6.（2023春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，，，点为射线上的一个动点，若与关于直线对称，若为直角三角形，则的长为 ． 例7.（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 例8．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 例9．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．    (1)如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明； (2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； (3)若，当是直角三角形时，直接写出的长． 例10．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．(1)求直线的函数表达式和点B的坐标；(2)求的面积；(3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 例11．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）（1）【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E． 求证：△BEC≌△CDA； （2）【模型应用】①已知直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 课后专项训练 1．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（    ）    A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7 2．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（    ） A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，2 3．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ．    5．（2023春·广东八年级课时练习）如图，等边三角形中，，于点D，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，