第02讲 解直角三角形（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第02讲 解直角三角形 1. 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形； 2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 知识点1 解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 注意： 　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点2 解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 注意： 　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 【典例1】（2023•雨花区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin∠B等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023•子洲县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，，则AC的长为（　　） A．4.5 B．5 C．2 D．3 【变式1-2】（2023春•东城区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（　　） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（2023•沭阳县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，则AC的长为（　　） A．6 B．2 C．3 D．9 【典例2】（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　） A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝ 【变式2-1】（2023•耿马县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝8，，那么tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春•巴东县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023•巧家县校级三模）如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，则边AB的长为（　　） A． B． C． D． 【典例3】（2023•仓山区校级模拟）如图，平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022秋•乳山市期末）如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023•陇县一模）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝1，，则sin∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 【典例4】（2022秋•泉州期末）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023•长丰县模拟）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023•海港区一模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B