24.1.2 垂直于弦的直径2023-2024学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 新课引入 圆的定义是什么？ · 旋转定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆． 集合定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 什么叫做弦？ 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径. 弦 直径 什么叫做弧？ 连圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧 我们学习完圆的定义后，这节课来学习一下圆的性质 探究 问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次， 你发现了什么？由此你能得到什么？ 新知学习 温馨提示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. · O A B D P C 问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB， 垂足为 P. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么? 线段：AP = BP 弧： 理由如下： 把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与 BP 重合， 和 ， 与 重合． 垂径定理 · O A B C D P ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件) 归纳总结 数学语言： ∴ AP = BP， (结论) 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 过圆心 文字语言：一条直线若满足:①过圆心②垂直于弦 则③平分弦 ④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 AB，CD 都不是直径 O A B C A B O E A B D C O E A B O C D E 6 可运用垂径定理的几种常见图形： A B O C D E A B O C D A B O D C A B O C 归纳总结 例2 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，点O到直线AB的距离为 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA，作OE垂直AB ∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 16 (cm). 16 ∴ (cm). 结论：()2 +弦心距2 =半径2 做辅助线的方法： ①连半径 ②作弦心距 例3 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA. ∵ CE⊥AB 于 D， ∴ 设 OC = OA = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x - 2)2， 做辅助线的方法：连半径 结论：()2 +弦心距2 =半径2 试一试 上面我们学习了垂径定理的文字语言描述如下： · O D E A B C 一条直线若满足: ①过圆心②垂直于弦 则③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 已知①② 可推出 ③④⑤ 猜想：已知①③ ？ ②④⑤ D O A B E C 举例证明其中一种组合方法. 已知: 求证： ① CD 是直径 ② CD⊥AB，垂足为 E ③ AE = BE 证明猜想 ④ 如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E. （1）CD⊥AB 吗？为什么？ （2） · O A B C D E 解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AE = BE， ∴∠AEO =∠BEO = 90°. ∴ CD⊥AB. 证明举例 ∴△AOE≌△BOE(SSS). (2) 由垂径定理可得 与 相等吗？ 与 相等吗？ 为什么？ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD平分AB于点E， ∴ CD ⊥ AB于点E， 数学语言： · O