专题05 难点探究专题：二次函数中求线段最值问题压轴题四种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(华东师大版）

专题05 难点探究专题：二次函数中求线段最值问题压轴题四种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 11 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 19 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 30 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 例题：（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【变式训练】 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，抛物线经过三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)如图2，点M是线段上的点（不与A、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示的长，并求出的最大值． 2．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）综合与探究 如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为．当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，已知抛物线经过二点，与直线交于A、D两点，且点A为直线和抛物线与y轴的交点，点G为直线与x轴的交点．    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上位于直线下方上的一个动点，垂直于，当M运动到什么位置时最大？求的最大值？； (3)是x轴上一点，使以A、P、D为顶点的三角形是锐角三角形，直接写出m的范围． 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 例题：（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)若点P为抛物线上一点，轴交直线于点M，求的最小值． 【变式训练】 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点． (1)求和的值； (2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值； (3)求线段的最小值． 2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交于点M，Q，直线交x轴于点N．    (1)若点P在y轴的左侧，且N为中点，求抛物线的解析式； (2)求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点P的坐标； (3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且，求m的取值范围． 3．（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F． ①求C点坐标； ②求证：四边形是矩形； ③连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 例题：（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 【变式训练】 1．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C，对称轴为直线．    (1)点B的坐标为__________． (2)求抛物线的解析式． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·山东烟台·统考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值； (3)设点F是抛物线上一点，其横坐标为，在抛物线上是否存在一点M，使得被直线平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．    (