10-6 双曲线 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

10-6 双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.了解双曲线的简单应用． 10-6 双曲线 1 一、主干知识 2 考点1：双曲线的定义 2 考点2：双曲线的标准方程和简单几何性质 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 4 题型一 双曲线的定义及应用 4 题型二 双曲线的标准方程 5 题型三 双曲线的几何性质 6 命题点1　渐近线 6 命题点2　离心率 7 三、分层训练：课堂知识巩固 7 一、主干知识 考点1：双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 考点2：双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 【常用结论总结】 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. (5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 二、分类题型 题型一 双曲线的定义及应用 【例题精析1】 已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．3 D．5 【例题精析2】 如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 【例题精析3】 已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题精析4】 已知动圆与圆，圆中的一个外切､一个内切，求动圆圆心的轨迹方程为 【例题精析5】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 . 【例题精析6】 双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 . 【例题精析7】 如果双曲线上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一焦点的距离是 ． 【例题精析8】 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 【对点精练1】 （2022•平凉二模）已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是　　 A． B． C． D． 【对点精练2】 （2023春•井冈山市校级期末）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 【对点精练3】 （2018秋•大武口区校级期末）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于4的点的轨迹　　 A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 【对点精练4】 （盐湖区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 【对点精练5】 （2015秋•石家庄期末）半径不等的两定圆、无公共点、是两个不同的点），动圆与圆、都内切，则圆心轨迹是　　 A．双曲线的一支 B．椭圆或圆 C．双曲线的一支或椭圆或圆 D．双曲线一支或椭圆 【对点精练6】 （马尾区校级期末）已知定点、，且，动点满足，则点的轨迹为　　 A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线 【对点精练7】 （2020秋•怀仁市期末）如果，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是　　． 【对点精练8】 （2018秋•潮州期末）已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点到右焦点的距离