14.3 因式分解（讲+练，10题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

14.3 因式分解 一、因式分解 1、概念：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式； 2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即 二、分解因式的一般方法 1、提公因式法 公因式：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式各项的公因式； 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 2、公式法： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 （1）平方差公式：，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积； （2）完全平方公式：，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 （3）立方和：（4）立方差： 3、十字相乘法：. 4、拆项法 5、添项法 三、分解因式的步骤 因式分解的一般步骤为“一提”“二套”“三检验”，先考虑用提公因式法分解，再考虑套用公式分解，最后检验因式分解是否彻底、正确。即： 1、先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式； 2、再看能否使用公式法； 3、用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的； 4、因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解； 5、因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。 注：在因式分解中，最容易出错的地方就是因式分解不彻底。 题型一 判断是否是因式分解 【例1】下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】下列等式中：①；②；③；④，从左到右的变形是因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】下列各式由左到右的变形是分解因式，且分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 因式分解的知解求参 【例2】已知多项式有一个因式为，则的值为（    ） A． B．10 C．5 D．20 【变式2-1】若，则的值为 ． 【变式2-2】若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【变式2-3】已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】多项式可因式分解成，其中a、b均为整数，则ab的值为（    ） A． B． C．6 D．5 题型三 提公因式法分解因式 【例3】下列各组多项式中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-1】在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【变式3-3】已知：，，求的值． 【变式3-4】把下列各式分解因式： （1）； （2）． 题型四 判断能否用公式法分解因式 【例4】下列各多项式中，不能用公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【变式4-3】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-4】已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 题型五 运用平方差公式分解因式 【例5】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】分解因式： ． 【变式5-2】若，则的值为 ． 【变式5-3】已知 ，，则 ． 【变式5-4】已知，则    ． 题型六 运用完全平方公式分解因式 【例6】若，则 ． 【变式6-1】已知，则的值为 【变式6-2】已知，，则与的大小关系式（　　） A． B． C． D．无法比较 【变式6-3】分解因式： （1）； （2）． 【变式6-4】已知，则代数式的值是（　　） A．0 B．1 C．4 D．6 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 【例7