14.2 乘法公式（讲+练，6题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

14.2 乘法公式 一、平方差公式 形如的多项式与形如的多项式相乘，由于 ， 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 . 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 注：①平方差公式是多项式乘法中，的特殊情形； ②只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行。 二、完全平方公式 形如的多项式相乘，由于 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 注：①完全平方公式是多项式乘法中，的特殊情形； ②完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样； ③三项式的完全平方公式：. 三、添括号法则 1、去括号法则： ； 2、添括号法则： ； . 也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 注：有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式。 题型一 运用平方差公式进行运算 【例1】若，且，则 ． 【变式1-1】若，则A的末位数字是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式1-2】等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】，则 ． 【变式1-4】用乘法公式计算的结果（    ） A． B． C． D． 题型二 平方差公式与几何图形 【例2】如图的分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【变式2-2】王大爷家有一块边长为m米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西向减少2米．则改造后的菜地与原来的菜地相比（    ） A．面积相等 B．面积增加了4平方米 C．面积减少了4平方米 D．无法确定 【变式2-3】如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为的小正方形后，再将剩余部分拼成一个长方形，则长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-4】如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    （1）设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； （2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； （3）运用（2）中得到的公式，计算：． 题型三 运用完全平方公式进行运算 【例3】若，，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3-1】已知，则 ． 【变式3-2】已知，，，那么的值为 ． 【变式3-3】若，则 ． 【变式3-4】如果是一个完全平方式，那么m的值为 ． 题型四 通过对完全平方公式变形求值 【例4】，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【变式4-2】若，则的值为 ． 【变式4-3】，求的值． 【变式4-4】已知，求的值． 题型五 求完全平方式中的字母系数 【例5】若，则的值为（    ） A．28 B． C．24或 D．28或 【变式5-1】已知是完全平方式，k为常数，则k的值为（    ） A．9或 B．3或 C．3 D． 【变式5-2】若多项式是完全平方式，则的值为（    ） A． B．7或 C．7 D． 【变式5-3】若，则 ． 【变式5-4】若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 【例6】如图，矩形的周长是10，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为17，那么矩形的面积是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）    【变式6-3】将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形． （1）比较图2和图1的阴影部分面积，可以推得公式：_________________（用