专题 等腰三角形中常用的辅助线作法-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第2章 轴对称图形》 专题 等腰三角形中常用的辅助线作法 题型一 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 解题技巧提炼 当遇到等腰三角形时，常利用“三线合一”的性质，若已知图中无此线，可将其构造出来以辅助解决问题，通常是作底边上的高，再证底边上的中线或顶角的平分线. 【例题1】（2022秋•秦淮区月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，F是CD的中点，连接AF．求证：AF⊥CD． 【变式1-1】如图，△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE，求证：DE⊥AB． 【变式1-2】（2022秋•新洲区期中）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE． 【变式1-3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于E，CEBC，E在△ABC外， 求证：∠ACE＝∠B． 【变式1-4】（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB． 【变式1-5】（2022秋•大足区期末）如图所示，△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F． （1）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数； （2）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠ACB． 【变式1-6】（2022秋•南乐县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分 ∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝4． （1）求∠D的度数； （2）若BC＝5，求ED的长． 【变式1-7】如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB+CD． （1）求证：BE＝CE； （2）求证：AE⊥DE； （3）求证：AE平分∠DAB． 题型二 利用作平行线构造等腰三角形 三角形 解题技巧提炼 利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形；作腰的平行线构造等腰三角形；作边的平行线构造等腰三角形. 【例题2】如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交BC与点D．交AC的延长线于点F，且BE＝CF．求证：DE＝DF． 【变式2-1】如图，△ABC是等边三角形，D为AC延长线上一点，E是BC延长线上一点，CE＝AD，求证：DB＝DE． 【变式2-2】如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB＝EF． 【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于点G． （1）试说明EG＝FG； （2）试说明AB+AC＞2EG． 【变式2-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G． （1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数； （2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG． 【变式2-5】如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D． （1）当∠DQC＝30°时，求AP的长． （2）作PE⊥AC于E，试探究DE、AE、CD三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式2-6】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点， 且BD＝DE． （1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由； （2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由． 【变式2-7】 如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G． （1）求证：AF＝AG； （2）求证：BF＝CG； （3）求的值． 题型三 利用“截长补短法”构造等腰三角形 解题技巧提炼 对于线段和差问题，利用“截长补短法”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化. 【例题3】如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝AD+BC． 【变式3-1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E为BC上一点，BE＝DE．求证：BC＝CD+AD． 【变式3-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD延长线于点M． 求证：AM（AB+AC）． 【变式3-3】如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD． （1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由． （2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立