专题10 函数最值，复合函数及抽象函数（3知识点+2题型+3考法）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题10： 函数最值、复合函数及抽象函数（3知识点+5题型+9考法）函数最值、复合函数、抽象函数 常考题型 抽象函数 复合函数的单调性 函数的最大（小）值 题型一：利用函数单调性求最值或参数 题型二：恒成立或者有解问题 题型三：二次函数的最值问题 题型五：抽象函数问题 考法一：二次函数定轴定区间求最值 题型四：复合函数 考法二：二次函数动轴定区间求最值 考点三：二次函数定轴动区间求最值 考法四：二次函数动轴动区间求最值 考法一：复合函数求定义域 考法二：复合函数求单调区间 考法一：一次函数模型 考法二：对数函数模型 考法三：指数函数模型 知识点一：函数的最大（小）值 （1）函数最值概念 名称 定义 几何意义 函数的最大 值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足： （1） ，都有 （2） ，使得 那么，我们称M是函数的最大值 函数的最大值对应图像最高点的纵坐标. 函数的最小 值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有 （2），使得 那么，我们称是函数的最大值 函数的最小值对应图像最低点的纵坐标. （2）利用函数单调性求最值的常用结论 ①如果函数在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，最大值为。 ②如果函数在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，最小值为。 ③如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，如图（1）所示： ④如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，如图（2）所示： 知识点二、复合函数的单调性 （1）复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. （2）求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点三：抽象函数 （1）抽象函数：一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法． （2）在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·)即可． （3）常见抽象函数及其原型 ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m，原型为一次函数f(x)＝kx＋b. ②f(x＋y)＝f(x)·f(y)，原型为f(x)＝ax(a>0，且a≠1). ③f(xy)＝f(x)＋f(y)，原型为f(x)＝logax(a>0，且a≠1). 题型一：利用函数单调性求最值或参数 解题思路：（1）利用单调性求最值 ①如果函数在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，最大值为。 ②如果函数在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，最小值为。 （2）已知函数最值（值域）求参数问题的解题步骤 ①调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域、值域（最值）问题转化为方程或不等式的解集问题； ②根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围 例1．设函数，则（  ） A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 例2．函数在区间上的最大值为 ；最小值为 ． 例3．已知函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 例4．设函数，若存在最大值，则实数a的取值范围为 ． 变式训练 5．已知函数，则在区间的值域为 ． 6．函数的值域为（    ） A．[0,1） B． C． D． 7．已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数在上的最小值为 ，最大值为 . 9．已知，则的值域为 ． 题型二：恒成立或者有解问题 解题思路：常用方法利用分离参数法；(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (3)a≥f(x)有解⇔a≥f(x)min；(4)a≤f(x)有解⇔a≤f(x)max. 例1．已知函数. (1)判断函数在上的单调