专题09 函数的单调性（4知识点+6题型）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题09 ：函数的单调性（4知识点+6题型） 函数的单调性 常考题型 函数单调性的性质和函数单调性运算性质 常见函数的单调性 函数的单调性及单调区间 函数的单调性的概念 题型一：函数单调性的概念理解 题型二：判断或证明函数的单调性 题型三 ：求函数的单调区间 题型四：利用函数的单调性求参数的取值范围 题型五：利用函数的单调性比较大小 题型六：利用函数的单调性解不等式 知识点一：函数的单调性的概念 （1）函数单调性的定义 （2）概念中的注意点：定义中的x1，x2有以下3个特征 ①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； ②有大小，通常规定x1<x2； ③属于同一个单调区间． 知识点二、函数的单调性及单调区间 （1）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. （2）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. （3）当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 知识点三、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在R上单调递增； 时，在R上单调递减. 反比例函数 时，单调递减区间是和； 时，单调递增区间是和. 二次函数 时，单调递减区间是，单调增区间是 时，单调递减区间是，单调增区间是. 的增区间是和，减区间是和. 的增区间是和，减区间是和. 知识点四、函数单调性的性质和函数单调性运算性质 （1）函数单调性的几种等价形式 ①若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝. ②对增函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对减函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. （2）若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质. ①与（C为常数）具有相同的单调性. ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性. ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. ④若，则与具有相同的单调性. ⑤在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数. 题型一：函数单调性的概念理解 解题思路：函数单调性的概念理解要注意三个点 （1） 定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。 ①若，在(a，b)内是增函数； ②，在(a，b)内是减函数. （2） 增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． （3）当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 例1．(多选)下列命题中为真命题的是（    ） A．定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上单调递增 B．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减 C．，且，当时，在上单调递减 D．，且，当时，在上单调递增 例2．(多选)下列结论错误的是（    ） A．因为，则在上是增函数． B．函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为． C．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数． D．函数的单调递减区间是． 例3．(多选)下列说法中，正确的是（    ） A．若对任意，，当时，，则在上是增函数 B．函数在上是增函数 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 变式训练 4．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 5．（多选）如果函数在上是增函数，那么对于任意的、，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 题型二：判断或证明函数的单调性 解题思路：证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法或者性质法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是： 例1．已知函数的图像过点． (1)求实数m的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； 例2．讨论函