第四题 函数的定义与性质-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第四题 函数的定义与性质 高考真题 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 知识点总结 1. 函数的概念 (1) 设A，B是两个　 　的数集，如果按某个确定的　 　，使对于集合A中的 　 元素x，在集合B中都有　 　的元素y和它对应，那么称　 　为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的　 　，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的　 　. (2) 函数的定义含有三个要素，即定义域A，值域C和对应关系f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应关系确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数． 2. 常用的函数的表示方法 (1) 解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； (2) 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系； (3) 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 3. 分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称为分段函数． 4. 求复合函数定义域的方法 (1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． (2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 5. 函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A： 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 图象 描述 自左向右看，图象是　 　 自左向右看，图象是　 　 (2) 单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增函数或是减函数，那么称A为单调区间． (3) 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有　 　，并且具有这样的规律：　 　. 6. 若函数f(x)，g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上具有以下性质： (1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有　 　的单调性． (2) f(x)与a·f(x)，当a>0时，具有相同的单调性；当a<0时，具有相反的单调性． (3) 当f(x)恒不等于零时，f(x)与具有　 　的单调性． (4) 当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)都是增(减)函数． 7. 函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1) 对于任意x∈D，都有　 　； (2) 存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3) 对于任意x∈D，都有　 　； (4) 存在x0∈D，使得　 　 结论 M为最大值 M为最小值 几何 意义 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 8. 奇、偶函数的定义 对于函数f(x)定义域内的　 　一个x，都有　 ，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有　 ，则称f(x)为偶函数． 9. 奇、偶函数的性质 (1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于　 　对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于　 　对称)． (2) 奇函数的图象关于　 　对称，偶函数的图象关于　 　对称． (3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__ __. (4) 定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． 10. 函数的周期性 (1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有　 ，就把函数f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中　 　的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的　 　正周期． 11. 常用结论 (1) 函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0