精品解析：河北省石家庄二十七中2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

石家庄市第二十七中学2023—2024学年第一学期高二阶段一测试 高二数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 空间直角坐标系中，已知A（1，–2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|，则P点的坐标为 A. （3，0，0） B. （0，3，0） C. （0，0，3） D. （0，0，–3） 2. 设有一个质点位于处，在力作用下，该质点由A位移到时，力所作的功的大小为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，且与垂直，则λ等于（ ） A. B. C. D. 1 5. 若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）． A. B. C. D. 8. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（    ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 两个不同的平面的法向量分别是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 10. 已知向量，，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. ∥ C. D. 11. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD的交点为G，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则（ ） A PD⊥EF B. 三棱锥P−DEF的体积为 C. PG与DF所成角的余弦值为 D. 三棱锥P−DEF的外接球的表面积为 12. 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知平面的一个法向量，点在平面内，若点在平面内，则___________ 14. 已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是________． 16. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是___________. 四、解答题（本题共6小题，共70分．要求写出解答过程） 17. 已知空间三点，，，设，. （1）求，夹角的余弦值； （2）若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，． （1）试用，，表示出向量； （2）求与所成的角的余弦值． 19. 四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． （1）求异面直线DE与PA所成角的余弦值； （2）证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 20. 在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点． （1）求证：平面ABCD； （2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 21. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小. 22. 图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得点到平面距离为？若存在，求出直线与平面所