专题09 相似三角形的判定与性质（10大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题09 相似三角形的判定与性质（10大题型） 【题型目录】 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 重心的有关性质 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 利用相似三角形的性质求解 题型六 证明三角形的对应线段成比例 题型七 利用相似求坐标 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型九 相似三角形——动点问题 题型十 相似三角形的综合问题 【知识梳理】 知识点一、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点二、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【经典例题一 证明两三角形相似】 1．（2023春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，的边上有两点、，且是正三角形，则下列条件不一定能使与相似的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·河南洛阳·九年级偃师市实验中学校考阶段练习）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（    ）    A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 5．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校联考阶段练习）如图，和都是的高，相交于F点，连接．    (1)求证：； (2)若点D是的中点，，则的长为__________． 【经典例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校联考阶段练习）在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·湖南株洲·九年级校考期中）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    4．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知P是边长为5的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形一定与相似，则的值为 ．    5．（2023秋·全国·九年级专题练习）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【经典例题三 重心的有关性质】 1．（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（  ）    A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 2．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 3．（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）已知是的边的中点，是重心，，则 4．（2023秋·湖北十堰·八年级校联考阶段练习）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为 ． 5．（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．