专题13 相似三角形的经典模型（10大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题13 相似三角形的经典模型（10大题型） 【题型目录】 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 动态相似 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 2．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 3．（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 4．（2022春·全国·九年级专题练习）王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？ 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2021秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为 cm． 3．（2023·江苏南通·统考一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点． (1)当时，求的度数用含的式子表示； (2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； (3)若，求的值． 4．（2023·山东·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，交线段于点，若，求的值． (3)如图2，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点．试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 1、（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 2、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点． ①若，求的长； ②作，垂足为，求证：． 3、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________． 4、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1． （1）请你探究：，是否都成立？ （2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断． （3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值． 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（    ） A