专题11 九年级上期中真题精选【考题猜想，压轴24题11考点专练】-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题11 九年级上期中真题精选【考题猜想，压轴24题11个考点专练】 一、根据一元二次方程根与系数关系求参数（共1小题） 1．（2019秋·江苏镇江·九年级统考期中）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0． （1）代数式x2﹣2的不变值是　 　，A＝　 　． （2）说明代数式3x2+1没有不变值； 二、利用公式法求一元二次方程（共1小题） 1．（2022秋·江苏·九年级期中）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对友好方程．如2x2-7x+3=0的友好方程是3x2-7x+2=0． （1）写出一元二次方程x2+2x-8=0的友好方程 ． （2）已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x1=2，x2=-4，它的友好方程的两根、 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其友好方程cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论． （3）已知关于x的方程2020x2+bx-1=0的两根是x1=-1，x2=．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1)2-bx+b=2020的两根为 ． 三、利用因式分解法求一元二次方程（共1小题） 1．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）【阅读材料】 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． 【直接应用】 方程的解是，________，________． 【类比迁移】 解方程：． 【问题解决】 如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长． 四、利用一元二次方程根与系数关系解决存在性问题（共2小题） 1．（2019秋·江苏盐城·九年级校联考期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+3＝0有两个实数根x1，x2 （1）求实数a的取值范围 （2）若等腰△ABC的三边长分别为x1，x2，6，求△ABC的周长 （3）是否存在实数a，使x1，x2恰是一个边长为的菱形的两条对角线的长？若存在，求出这个菱形的面积；若不存在，说明理由． 2．（2018·江苏苏州·九年级统考期中）关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由． 五、利用一元二次方程解决动态几何问题（共3小题） 1．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)、出发时，的面积是多少？ (2)、出发几秒时，的面积是？ 2．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)当t=_____时，点P移动到点D； (2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值； (3)当为何值时，△PQB为直角三角形． 3．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）小华同学学习了课本节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题：    问题6如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动． (1)几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由； (2)几秒钟后为直角？请说明理由； (3)当时，内有一个动点M，连接、．若，线段的最小值为______． 六、圆周角定理与推论（共5小题） 1．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，利用圆的特殊性质可以帮我们