3.4～3.5 二次函数-【中考总复习】2024中考数学总复习之同步综合专题模拟卷

51 3.4 二次函数(1) 【思维导图】 【知识梳理】 1. 形如 的函数叫做y 是x 的二次函数. 2. 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成y=a(x-h)2+k的形式,其中h= ,k= . 3. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 a>0 a<0 图象 开口 对称轴 顶点坐标 最值 当x= 时, y 有最 值 当x= 时, y 有最 值 增 减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 4. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的位置有三种情况:(1) ;(2) ; (3) .若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴有交点,则交点的横坐标是一元二次 方程 的根. 52 【例题精讲】 例1 根据条件求二次函数的表达式. (1)抛物线过(-1,-6),(0,-2)和(2,3)三点; (2)抛物线的顶点坐标为(-1,-1),且与y 轴交点的纵坐标为-3; (3)抛物线过(-1,0),(3,0),(1,-5)三点. 思考:上述的解题方法可以相互转化吗 例2 已知二次函数y=-x2-(m-1)x+m(m 为常数). (1)若函数图象与y 轴交于点(0,3). ①求出m 的值,并求它与x 轴的交点和抛物线顶点的 坐标; ②在图中画出二次函数的图象; ③x 取什么值时,抛物线在x 轴的上方? ④x 取什么值时,y 的值随x 的值增大而减小? ⑤当-3<x<0时,直接写出y 的取值范围为 ; ⑥将该抛物线先向右平移1个单位,再向下平移2个单位,请直接写出所得新抛物线的 表达式. 53 (2)①求证:该二次函数的图象与x 轴一定有交点; ②求证:无论m 为何值,该抛物线顶点都在函数y=(x+1)2 的图象上; ③当-4≤m≤3时,求该函数图象顶点纵坐标的取值范围. 【课内训练】 1. (2023·扬州)已知二次函数y=ax2-2x+ 1 2 (a 为常数,且a>0),下列结论:①函数图象一 定经过第一、二、四象限;②函数图象一定不经过第三象限;③当x<0时,y 随x 的增大而减 小;④当x>0时,y 随x 的增大而增大.其中所有正确结论的序号是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④ 2. (★)(2022·玄武区一模)已知二次函数y=(x-m)(x-m-2)(m 为常数). (1)求证:不论m 为何值,该函数的图象与x 轴总有两个公共点; (2)二次函数的图象与x 轴交于点M,N,与y 轴交于点P,若△MNP 是等腰直角三角形,则 m 的值为 ; (3)点A(1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在二次函数的图象上,当y1·y2·y3<0时,结合函数图 象,直接写出m 的取值范围. 54 课外作业 1. (2023·兰州)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是 ( ) A. 对称轴为x=-2 B. 顶点坐标为(2,3) C. 函数的最大值是-3 D. 函数的最小值是-3 2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x 的方程ax2+bx+c-4=0的根的情 况是 ( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. (2023·徐州)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长 度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为 ( ) A. y=(x+3)2+2 B. y=(x-1)2+2 C. y=(x-1)2+4 D. y=(x+3)2+4 4. (2023·内蒙古)已知二次函数y=-ax2+2ax+3(a>0),若点P(m,3)在该函数的图象上, 且m≠0,则m 的值为 . 5. 请选择一组你喜爱的a,b,c的值,使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下面的 条件:①开口向下;②当x<2时,y 随x 的增大而增大;当x>2时,y 随x 的增大而减小.这 样的二次函数的表达式可以是 . 6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x= -1,下列结论:①abc>0;②b2>4ac;③4a-2b+c<0;④2a=b;⑤3a+ c>0.其中,正确的是 . 7. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的