专题 特殊三角形中常用的辅助线作法-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十三章 轴对称》 专题 特殊三角形中常用的辅助线作法 题型一 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 解题技巧提炼 当遇到等腰三角形时，常利用“三线合一”的性质，若已知图中无此线，可将其构造出来以辅助解决问题，通常是作底边上的高，再证底边上的中线或顶角的平分线. 【例题1】如图，△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE，求证：DE⊥AB． 【变式1-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE． 求证：AD＝AE． 【变式1-2】（2022秋•新洲区期中）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE． 【变式1-3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于E，CEBC，E在△ABC外， 求证：∠ACE＝∠B． 【变式1-4】（2022秋•大足区期末）如图所示，△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F． （1）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数； （2）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠ACB． 【变式1-5】如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在BC边上，DE与AC相交于点O． （1）求证：△OEC是等腰三角形； （2）当点E在什么位置时，点O是AC的中点？说明理由． 题型二 利用作平行线构造等腰三角形 三角形 解题技巧提炼 利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形；作腰的平行线构造等腰三角形；作边的平行线构造等腰三角形. 【例题2】如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交BC与点D．交AC的延长线于点F，且BE＝CF．求证：DE＝DF． 【变式2-1】如图，△ABC是等边三角形，D为AC延长线上一点，E是BC延长线上一点，CE＝AD，求证：DB＝DE． 【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G． （1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数； （2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG． 【变式2-3】如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D． （1）当∠DQC＝30°时，求AP的长． （2）作PE⊥AC于E，试探究DE、AE、CD三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式24】 如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G． （1）求证：AF＝AG； （2）求证：BF＝CG； （3）求的值． 题型三 利用“截长补短法”构造等腰三角形 解题技巧提炼 对于线段和差问题，利用“截长补短法”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化. 【例题3】如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝AD+BC． 【变式3-1】 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，求∠C的度数． 【变式3-2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E为BC上一点，BE＝DE．求证：BC＝CD+AD． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD延长线于点M． 求证：AM（AB+AC）． 【变式3-4】（2022秋•宜丰县校级期中）如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 【变式3-5】（2022秋•崇川区校级月考）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE； （3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论． 题型四 利用“倍长中线法”构造等腰三角形 解题技巧提炼 当题目中已知某线段的中点时，通过倍长中点处的线段构造全等三角形，从而将题目中的相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形. 【例题4】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形