第5章一元导数及其应用单元测试-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第5章 导数及其应用 1.在高台跳水运动中t s时某运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是( ) A.-3.3 m/s B.-13.1 m/s C.13.1 m/s D.3.3 m/s 2.下列函数组中导函数相同的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 3.已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为( ) A. B. C. D. 4.已知函数，其导函数记为，则( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 5.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ). A. B. C. D. 8.定义在上的函数的导函数为，满足，，且当时，，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知函数，则( ). A.的极大值为-1 B.的极大值为 C.曲线在点处的切线方程为 D.曲线在点处的切线方程为 10.（多选）已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( ) A.函数在上为单调递增函数 B.是函数的极小值点 C.函数至多有两个零点 D.时，不等式恒成立 11.已知函数，则函数的极大值为__________________. 12.若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________. 13.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为____________. 14.已知函数有2个不同零点(其中e是自然对数的底数)，则m的取值范围是___________. 15.已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于x的方程有3个不等实根，求证：. 16.已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：B 解析：由，得，当时，，所以高台跳水运动中该运动员在时的瞬时速度是-13.1 m/s. 2.答案：C 解析：由常数函数的导数为0以及，排除A；，，排除B；，故C正确；，，排除D. 3.答案：C 解析：由函数的图象在点处的切线方程是，得，.由，得，则. 4.答案：A 解析：由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以. 5.答案：B 解析：，，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，，即，解得或.实数m的取值范围是，故选B. 6.答案：B 解析：，. 因为函数在上为减函数， 所以在上恒成立，即， 所以. 设，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故， 所以，故选B. 7.答案：A 解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值， 所以实数a的取值范围是. 故选A. 8.答案：A 解析：令，则，可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以由可得，即.由在上单调递增，可得解得，所以不等式的解集为，故选A. 9.答案：BD 解析：因为，所以，所以当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确； 因为，，所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确.故选BD. 10.答案：ABC 解析：因为，所以当时，；当时，.因为，所以，则当时，；当时，.所以函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则是函数的极小值点，则选项A，B均正确.当时，函数至多有两个零点，当时，函数有一个零点，当时，函数无零点，所以选项C正确.，又在区间上单调递减，所以当时，，又，所以，故选项D错误.故选ABC. 11.答案： 解析：，故，解得，所以，，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为. 12.答案： 解析：构造函数，则， 函数满足，，故在R上单调递增. 又，，不等式，即， 由在R上单调递增，可知. 13.答案： 解析：由题可知，当时，不等式恒成立，设，则在上是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以，所以. 14.答案： 解析：设则函数有2个不同零点，即函数与有2个不同交点.当时，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，根据图象可知，实数m的取值范围是. 15.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减. (2)见解析. 解析：(1)依题意得，. 令，得； 令，得或. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)可知函数的极小值，极大值. 当时，，当时，， 画出的大致图象