难关必刷03圆的综合问题-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）

难关必刷03 圆的综合问题 题型1.圆的方程 1．（2022秋·全国·高二期中）在以下这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解． ①圆经过点；②圆心在直线上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数． 已知圆M经过点且_____． (1)求圆M的方程； (2)求以为中点的弦所在的直线方程． 2．（2023秋·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考阶段练习）①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解． 已知圆经过点，且________． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，求过点的圆的切线方程． 3．（2023秋·全国·高二阶段练习）已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 4．（2022秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）已知关于直线对称，且圆心在轴上. （1）求的标准方程； （2）已知动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为. ①记四边形的面积为，求的最小值； ②证明直线恒过定点. 5．（2022秋·全国·高二期中）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线n交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标. (3)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 6．（2023秋·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． (1)求圆O的方程； (2)若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； (3)在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 题型2.轨迹方程 一、多选题 1．（2023秋·重庆涪陵·高二校联考阶段练习）已知曲线上的动点满足，为坐标原点，直线过和两点，为直线上一动点，过点作曲线的两条切线为切点，则（    ） A．点与曲线上点的最小距离为 B．线段长度的最小值为 C．的最小值为 D．存在点，使得的面积为 2．（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（     ） A．圆 的圆心坐标为，半径为5 B．若分别为两圆上两个点，则的最大距离为 C．两圆外切 D．若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为 二、填空题 3．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 4．（2023秋·全国·高二期中）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论： ①弦AC长度的最小值为； ②线段BO长度的最大值为； ③点M的轨迹是一个圆； ④四边形ABCD面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题 5．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市南雅中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且； (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 6．（2023秋·山东·高二校联考阶段练习）在长方体中，，，M为棱的中点，动点P在面上运动，且满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)求点P在长方形内的轨迹长度； (3)求线段长度的最大值． 7．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）如图，已知圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．    (1)时，求PA、PB方程（点A在点B上方）； (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求的最小值． 8．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值. 题型3.直线、圆的位置关系 一、单选题 1．（2023秋·福建莆田·高二莆田一中校联考阶段练习）已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（    ） A．