难关必刷01 空间向量的综合应用-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）

难关必刷 01空间向量的综合应用 题型1.法向量在位置关系中的应用 1．（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）如图，在长方体中，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则以下结论：    ①不存在点，使得平面； ②平面， ③点和点到平面的距离相等， ④直线与平面，所成角的最大值为． 其中正确的为（    ） A．①②④ B．③④ C．②③④ D．②③ 2．（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）一个正四面体的四个顶点到同一平面的距离分别为，则正四面体的棱长可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）如图，某正方体的顶点A在平面内，三条棱都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体外接球的表面积为 . 4．（2023秋·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考阶段练习）斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为 ． 5．（2023秋·广东深圳·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，.    (1)证明：面面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值. 6．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 题型2.用向量法求空间角和距离 一、单选题 7．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测）已知三棱锥的所有棱长都相等，若与平面所成角等于，则平面与平面所成角的正弦值的取值范围是 A． B． C． D． 8．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（2023秋·全国·高二阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 10．（2023秋·安徽宣城·高二安徽省宣城中学校考阶段练习）若正方体的棱长为，是中点，则下列说法正确的是 （     ）    A．平面 B．到平面的距离为 C．平面和底面所成角的余弦值为 D．若此正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形 11．（2023秋·山东烟台·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边），且．则（    ）    A．当E，F运动时，不存在点E，F使得 B．当E，F运动时，不存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角的最小值为45° D．当E，F运动时，直线与平面所成的角为定值 12．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）在直三棱柱中，，且，为线段的中点，为棱上的动点，平面过三点，则下列命题正确的是（    ） A．三棱锥的体积不变 B．平面平面ABE C．当与重合时，截此三棱柱的外接球所得的截面面积为； D．存在点，使得直线BC与平面所成角的大小为． 13．（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，则下列选项正确的是（    ） A．的轨迹长度相等 B．的最小值为 C．存在，使得 D．与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题 14．（2023秋·河南·高二校联考阶段练习）在平面四边形中，，等腰三角形的底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是 .    15．（2023秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是       四、解答题 16．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，四棱锥中，，，，，，为线段中点，线段与平面