专题24.2 垂直于弦的直径（五大考点）-2023-2024学年九年级数学上册考点剖析及精准练习（人教版）

专题24.2垂直于弦的直径 1.理解圆是轴对称图形; 2.探索并证明垂径定理，理解垂径定理及其推论； 3.能用垂径定理及其推论解决实际问题 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 考点01利用垂径定理求值 例1．在中，已知半径为5，弦的长为6，则圆心O到的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1-1．如图所示，圆的直径与弦相交于点．已知圆的直径，，则的值是（    ） A． B．8 C． D．4 变式1-2．如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段的长为 ．    变式1-3．如图，的半径为5，半径垂直于弦于C，，求的长．    考点02利用垂径定理证明 例2．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别为点、，且．求证： 变式2-1．如图，AB是的直径，于点E，连接CO并延长交AD于点F，且F恰为AD的中点，求证：E是OB的中点． 变式2-2．如图，AB是的直径，弦于点M，连结CO，CB． （1）若，，求CD的长度； （2）若平分，求证：． 变式2-3．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M． 求证：． 考点03垂径定理分类讨论问题 例3．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 变式3-1．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（    ） A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm 变式3-2．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 变式3-3．在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 考点04垂径定理翻折问题 例4．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）    A． B． C． D． 变式4-1．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．      变式4-3．如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则 ．    考点05垂径定理的实际应用 例5．如图，某圆弧形拱桥的跨度米，拱高米，则该拱桥的半径为（    ）    A．13米 B．18米 C．26米 D．30米 变式5-1．简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（　　）    A．1米 B．米 C．2米 D．米 变式5-2．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，    (1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； (2)现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 变式5-3．某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，如图，摩天轮半径为，中心距离地面，匀速运行一圈的时间为．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面之间超过一定距离时，可视为最佳观赏位置．已知在运行的一圈里最佳观赏时长为，求最佳观赏位置与地面的最小距离（即的长）．    基础过关练 1．如图的半径，是的弦，于点M，，则长为（　　）    A．8 B．12 C． D． 2．一根排水管的横截面如图所示．已知排水管的横截面圆的半径，圆心O到水面的距离是3，则水面的宽是（    ）    A．8 B．5 C．4 D．3 3．如图，的半径为10，弦，点是弦上的动点，则（    ）    A． B． C． D． 4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（　　）    A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm 5．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为 ．    6．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 7．如图，是的弦，点C在上，以为边