第19讲数列通项的求法 讲义-2024届高三数学一轮复习

高三数学一轮复习讲义 第19讲 数列通项求法 【必备知识】 1 公式法：等差数列或者等比数列 2 累和法：或（） 备注： 3 累积法： 或（） 备注： 4 关系式法：已知或求： 备注： 5 构造法*： （1）同取倒数： （2）构造等比：（不动点法） （3）构造等差：（同除） 【题型精讲】 【题型一 累和法】 【题1】已知数列满足（），且，求数列的通项公式． 【题2】已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【题3】已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求的值． 【题4】已知数列满足且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【题型二 累乘法】 【题1】已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和，并求出的取值范围. 【题2】在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． (1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【题3】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知是公比为的等比数列，，若数列是递增数列，求的取值范围． 【题4】已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【题型三 关系式法】 【题1】已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【题2】已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【题3】已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【题4】已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前项和. 【题5】已知数列满足：. (1)求出数列的通项公式； (2)已知数列满足，试求数列前n项和的表达式. 【题6】数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，，数列的前项和为，求对任意都成立的最小正整数.（参考公式：，） 【题型四 构造法】 【题1】设数列的各项都为正数，且． (1)证明数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【题2】在数列中，，且，求. 【题3】已知数列满足，， (1)求通项公式； (2)令，求数列前项的和. 【题4】在数列中，，对，． (1)求数列的通项公式； (2)若，证明数列的前项和． 【题5】已知数列的前项和为，满足， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 【题6】已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学一轮复习讲义 第19讲 数列通项求法 【必备知识】 1 公式法：等差数列或者等比数列 2 累和法：或（） 备注： 3 累积法： 或（） 备注： 4 关系式法：已知或求： 备注： 5 构造法*： （1）同取倒数： （2）构造等比：（不动点法） （3）构造等差：（同除） 【题型精讲】 【题型一 累和法】 【题1】已知数列满足（），且，求数列的通项公式． 【答案】（） 【分析】利用累加法求解即可. 【详解】因为， 所以（），…，， 所以（）（累加）， 又，所以（）， 因为当时，， 所以（）． 【题2】已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式将用，表示，可得通项公式，利用累加法结合等比数列求和公式求得的通项公式； （2）由于，可用分组求和算得的前n项和. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 所以. 因为，所以当时， ，又当时满足此式，所以. （2）由（1）得， 所以 . 【题3】已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合累和法进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）根据题意可得； 当时， ， 又符合上式，所以； （2）， 【题4】已知数列满足且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题设得，应用累加法求通项公式即可； （2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由题设，即，而， 所以，且， 所以，显然也满足上式，故. （2）由（1）知：， 所以， 则， 两式相减得：， 所以. 【题型二 累乘法】 【题1】已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的