第12章 全等三角形 常见模型 专项训练 2023—2024学年人教版数学八年级上册

2023年10月27日初中数学作业 模型一：公共边和角 1．如图，点D、E分别在、上，、交于O点，，．求证：．    2．已知，如图点、在线段上，．求证：    (1)． (2) 3．如图，与相交于点E，若，求的度数．    4．如图，，，．    (1)求证：； (2)探究和之间的关系． 5．已知：如图，，，，，求：的度数．    6．如图，已知是上的两点，且，写出与之间的关系，并证明你的结论．    模型二：一线三等角 7．如图，于点，于点，点在上，且，．求证：．    8．如图，在中，点D是边上一点，，点E在边上，，求证：．    9．如图，在中，，是上一点，于点，于点．求证：    (1)； (2)，求的长度． 10．（1）如图1，A是线段上一点，．求证：． （2）若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由．        模型三：手拉手模型 11．如图，已知，，，，与相交于点M． (1)求证：； (2)求证：． 12．在中，，点是边上一动点（不与点重合），以为一边在的右侧作，使，连接．    (1)如图①，若，则的长度为_________； (2)设． ①如图②，当点在线段上时，试说明； ②如图③，当点在线段的延长线上时，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 13．和共顶点A（），，．    (1)【问题背景】如图1，，求证：； (2)【探究运用】如图2，，F，G分别为，的中点，连接，，求的度数（用含α的式子表示）； (3)【创新拓展】如图3，连接，若M为的中点，且，求证：． 模型四：全等动点模型 14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．    (1)求的面积； (2)连接，设的面积为，请用含的式子表示； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图1，在长方形中，，点M从点B出发，以的速度沿向点C运动，设点M的运动时间为．    (1)_________（用含t的代数式表示） (2)如图2，当点M从点B开始运动时，点N同时从点C出发，以的速度沿向点D运动，是否存在这样的x值，使得与全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 模型五：导角模型 16．如图，在中，，垂足为，且．平分，且，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)求证：． 17．如图，中，，，过点C作，垂足为点F，过点B作交的延长线于点D．    (1)求证：； (2)若，，求的面积． 18．如图，四边形中，，，E为的中点，与相交于点F．    (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 19．如图，中，于，，．求证：．    20．如图，，，垂足为，，垂足为，，，求．    模型六：角平分线常见辅助线 21．如图，平分．    (1)求证：； (2)求证：． 22．如图，在中，，，分别过点B，点C作过点A的直线的垂线，，垂足为点D，E，试说明：      (1)； (2)． 23．如图，中，，分别平分，相交于点P．    (1)求的度数； (2)若，求线段的长． 24．如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上．    (1)求点的坐标； (2)当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 25．如图，四边形中，，E是的中点．平分． (1)求证：平分； (2)若，，求． 26．如图，在四边形中，，E为上一点，，分别平分，，试说明E为的中点． 27．如图，中，是的平分线，、分别为、上的点，连接、，，求证：．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．见详解 【分析】由题意易得，然后可根据“”证得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质得，由得出，再根据进行判定即可． （2）根据，可得，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．． 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求得，计算得到，根据三角形的外角性质计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛