专题1.9 与相似有关的辅助线作法（二）2023年九年级中考数学复习

专题九 与相似有关的辅助线作法（二） 类型三 构造“旋转”型相似三角形 方法 构造“共顶点旋转（手拉手）”模型 条件：如图，▲ABC和▲ADE的共顶点A，且点D在AB上，点E在AC上， 辅助线1：将▲ADE绕点A逆时针旋转一定角度，连接BD，CE（也称“拉手线”） 结论2：▲ABD~▲ACE 1.如图，在▲ABC和▲ADE中，∠ACB=∠AED，∠EAC=∠DAB，连接BD，CE，求证：∠ACE=∠ABD。 2.如图，Rt▲ACB和Rt▲DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=60°，AB=2AC，D是线段上一动点，连接BE，求证：BE=。 典例精析 例1 如图，在▲ABC和▲ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=30°，O是BC的中点，连接EO并延长至点F，使得EO=OF，连接BF，BD，求的值。 针对训练 1.如图，在Rt▲ABC中，∠CAB=90°，点D是线段AC左侧一点，连接AD，CD，且∠ACBB=∠ADC=，tan=，若CD=5，AD=12，连接BD，求BD的长。 2. ▲ABC与▲均为等边三角形，点O是BC和的中点，连接，C，将▲绕点O旋转。 （1） 如图①，若点恰好落在AC上，且∥C，求的值。 （2） 若▲旋转至图②位置时，求A的位置关系。 类型四 构造“半角”型相似三角形 构造“半角”模型 条件：如图①，▲ABC是等腰直角三角形，∠MAN=∠BAC=45° 结论：▲ABN~▲MAN~▲MCA 条件：如图②，▲ADE是等边三角形，∠DAE=∠BAC=60° 结论：▲ABD~▲CAE~▲CBA 条件：如图③，AB=AD，BC=CD，∠BAD+∠BCD=180°，∠MCN=∠BCD 辅助线：连接AC 结论：▲BPC~▲ANC，▲AMC~▲DQC， ▲CPQ~▲CNM，▲BMP~▲CQP，~▲DQN 1. 如图，在Rt▲ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D，E在边BC上，连接AD，AE，若∠DAE=45°，BE=，求CD的长。 2. 如图，在▲ABC中，∠BAC=120°，点D，E在BC上，若AD=AE=DE，BD=3，CE=1，求DE的长。 典例精析 例1 如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点E，F分别在边BC，CD上，若BE=AB，∠EAF=45°，求的值。 针对训练 1. 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接EF交AB于点G，若∠DAE=∠BAD，求证：AE²=AD·AG. 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别在AB，AD上，连接CE，CF分别交BD于点M，N，且∠ECF=∠BCD，连接EF （1） 求证： （2） 求证：▲CMN~▲CFE 类型五 构造“对角互补”型相似三角形 构造“对角互补”模型 条件：在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180° 辅助线1：如图①，过点D分别作BA，BC的垂线， 交BA于点E，交BC的延长线于点F 结论：▲DEA~▲DFC 辅助线2：如图②，在BC延长线上找一点E，使得∠BDE=∠ADC 结论：▲ABD~▲CED 1. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=115°，∠BCD=65°，CD=2BC，将线段CA绕点C逆时针旋转∠DCB的度数与AB的延长线交于点E，若▲CDA的面积为8，求▲CBE的面积。 2. 如图，在▲ABC中，点D为AB边的中点，以点D为顶点的角的两边分别与边AC，BC交于点E，F，∠EDF+∠C=180°，若AC：BC=2：1，求DE与DF的数量关系。 典例精析 例1. 如图，在矩形ABCD中，BC=2AB=4，点E，F分别在AC，CD上，连接BE，EF,若∠BEF=90°，BE=，求EF的长。 针对训练 1. 如图，已知▲ABC是等边三角形，AB=5，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的点，∠EDF=120°，AD=3，DF=，求DE的长。 2. 在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D+∠B=180°，点G是对角线AC的中点，▲EFG绕顶点G旋转，∠D=∠EGF，其中GE，GF分别交AB，BC于点M，N。 （1） 如图①，若四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=6，求的值 （2） 如图②，若BC=8，GM=5，求的值。 13 学科网（北京）股份有限公司 $$