专题4.1 从问题到方程（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题4.1 从问题到方程（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点提醒：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点提醒： 判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点： ①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【知识点2】一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点提醒： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 【知识点3】方程的解 使用方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 要点提醒：方程的解与解方程的关系 （1） 方程的解与解方程是两个不同概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程 是变形的方程； （2） 方程的解是通过解方程求得的。 【知识点4】等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点提醒： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立， 如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立; (3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 【考点一】一元一次方程的识别 【例1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）不是方程，见分析；（2）是方程；（3）不是方程，见分析；（4）不是方程，见分析；（5）是方程；（6）不是方程，见分析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． （1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点拨】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 【变式1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断选择即可． 解：A. ，不是等式，不是方程，不符合题意； B. 是方程，符合题意； C. 不是等式，不符合题意； D. 不含有未知数，不符合题意； 故选B． 【点拨】本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式2】（2023春·上海·六年级专题练习）下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点拨】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 【考点二】一元一次方程的参数问题与求值 【例2】（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）若是关于的一元一次方程. （1）求的值； （2）先化简，再求的值. 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程；由此解答即可； （2）根据整式的加减运算法则将原式