3.2 函数的基本性质导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2 函数的基本性质 知识解读 知识点一　函数的单调性 1. 增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D 条件 ∀x1，x2∈I，x1<x2 都有f(x1)f(x2) 都有f(x1)f(x2) 图示 结论 f(x)在区间I上单调递增 f(x)在区间I上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 函数 2. 常见函数的单调性 函数 图像 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0 在R 上单调递增 a<0 在R上单调递减. 反比例函数 a>0 单调递减区间 a<0 单调递增区间 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0 单调递减区间 单调递增区间 a<0 单调递减区间 单调递增区间 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 ，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点三　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x) M f(x) M ∃x0∈I，使得 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ，ymin＝ ． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ，ymin＝ ． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 知识点五　函数的奇偶性 1. 奇偶性概念 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0. 特别地，若f(x)≠0，还可以判断 是否成立. 2．判断函数的奇偶性的一般方法： (1)定义法：f(x)定义域关于原点对称 ①若f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数. ②若f(x)=-f(-x)，则f(x)是奇函数. (2)图象法：关于坐标原点对称的函数为奇函数，关于y轴对称的函数为偶函数. (3)四则运算： 奇±奇=奇；偶±偶=偶； 奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇； 奇÷奇=偶；奇÷偶=奇；偶÷偶=偶；偶÷奇=奇. 知识点六 奇偶性的应用 1. 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间 [－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点七　函数的奇偶性与单调性 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 ． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 ． 3. 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 函