4.2.1 指数函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一 —人教版—数学—第四单元 4.2.1 指数函数的概念 学习目标 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2.结合指数函数概念的形成过程，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升数学抽象素养． 阅读课本111-113页，思考并完成以下问题 1. 指数函数的概念是什么？ 2. 指数函数解析式的特征？   自主预习 问题探究 对于幂 ，我们已经把指数 的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法: 下面继续研究其他类型的基本初等函数．     “背景——概念——图像与性质——应用 问题1： 表4.2-1 由表4.2-1描点画出图像，并用平滑的曲线连接起来见下图。 观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律. 增加量→变化规律 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 增长率→变化规律 从相邻两年的游客人次的差可以看出规律，对B地景区有其他运算发现游客人次的变化规律吗？. 情景引入 你能否用函数解析式刻画B地景区游客人次随时间指数增长的变化规律？ 问题２　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡１年后，生物体内碳14含量为； 死亡２年后，生物体内碳14含量为； 死亡３年后，生物体内碳14含量为； …… 死亡5730年后，生物体内碳14含量为． 根据已知条件， ,从而所以. 设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么即）. 这也是一个函数，指数是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 提炼： 问题：以上两个式子有何共同特征？ (1)均是幂形式； (2)底是一个常数； (3)自变量x在指数位置上； y=1.11x 形成概念 指数函数的定义 一般地：形如y = ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R 观察指数函数的特点: 系数为1 底数为正数且不为1 x系数为1 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xa有什么区别和联系？ √ 解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数； ⑤中，底数－2<0，不是指数函数. 练习 √ 解:依题意得2a－1>0，且2a－1≠1， 分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出的解析式,即先求的值； 解：因为 ,且 f(3)=π,则 = π，解得 = , 于是f(x)＝ 所以f(0)==1，f(1)==，f(-3)== 求指数函数的解析式或函数值 例1.已知指数函数 (，且), 且π，求,，的值. 【练习】 √ 待定系数法 例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况． 解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x） 和g（x），则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x． 利用计算工具可得， 当x=0时，f（０）－g（０）＝412000． 当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）． 结合图可知： 当x＜10.22时，f（x）＞g（x）， 当x＞10.22时，f（x）＜g（x）． 当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303． 这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x）， 这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．