4.2.1 指数函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.1指数函数的概念 数学人教版必修第一册 第四章指数函数与对数函数 情景导入 一张纸最多能对折多少次？ 思考： (1)对折次数x和所得层数y之间的关系； (2)对折次数x和每层面积y之间的关系. 问题１随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票． 下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量． A地景区大约每年增长10万次 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ 用什么方法更易发现规律？ 为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图，根据图像并结合年增长量，发现了什么规律？ Ａ地：游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次） Ｂ地：游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 　　 结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数． 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长. １年后，游客人次是２００１年的____________倍； ２年后，游客人次是２００１年的____________倍； ３年后，游客人次是２００１年的____________倍； …… x年后，游客人次是２００１年的_____________倍． 因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1.111 1.112 1.113 1.11x 如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么 y＝________________________ 1.11x （x∈[０，＋∞））． ① 这是一个函数，其中指数x是自变量 问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 死亡1年后，生物体内碳14的含量为=1-p； 死亡2年后，生物体内碳14的含量为(1-p)²； 死亡3年后，生物体内碳14的含量为(1-p)³； 死亡5730年后，生物体内碳14的含量为(1-p)5730 ； ··· ··· ··· ··· 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，我们把刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡x年后，生物体内碳14的含量为(1-p)x . 死亡5730年后，生物体内碳14的含量为(1-p)5730 ； 根据已知条件， 设生物体内碳14含量为y，死亡年数为x，则 即   像这样, 衰减率为常数的变化方式, 我们称为指数衰减. 因此, 死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． (1)解析式y= ax的结构特征： 一般地，函数 y=ax （其中a>0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量 . 思考： (1)指数函数与幂函数的解析式在结构上有何不同？ (2)指数函数的定义域是什么？ (3)为什么要规定底数a>0且a≠1？ 指数函数的定义 当a=1时，y=ax=1为常数函数，不能反映指数增长或指数衰减的变化情况，无研究的必要性。 (2)定义域是R. (3)指数函数反映了函数呈指数增长或指数衰减的变化规律. 当a≤0时，y=ax无意义.例如 说明： 判断下列函数是否为指数函数？ 小试身手 典例分析 解： 例1 已知指数函数 求f(0),f(1),f(-3). 你能举出生活学习中指数函数的例子？ 如细胞分裂、折纸思考、银行复利计算利息、生产量每年平均增长率等等。 假定现在获取的知识是1，学习的知识按照1%的速度增长，那么，一年后会怎样？若学习的知识按照1%的速度减少，那么，一年后会怎样？ 一天后 两天后 三天后 365天后 例２.(1)在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ