第四章 指数函数与对数函数 章末复习课-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

章末复习课 专题一　指数、对数的运算 [重要提醒] (1)指数、对数的运算过程中，公式比较多，准确、熟练应用公式是关键．常用的有指数、对数的运算性质，对数恒等式，换底公式等． (2)注意总结常用的运算方法，如化同底等． 提醒：对数运算的两个常用公式 ①loganb＝logab；②logab＝. (3)对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行． [典型问题] 1．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析：C　由题意知b＝log83＝log233＝log23，又2a＝5，所以4a－3b＝22(a－3b)＝22a－6b＝(2a)2·2－6b＝25×2－2log23＝25×2log23－2＝25×3－2＝，故选C． 2．若3a＝4b＝12c，且abc≠0，则＋＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：D　设3a＝4b＝12c＝k(k＞0，且k≠1)， 则a＝log3k，b＝log4k，c＝log12k， 则＋＝＋＝＝1. 3．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________． 解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1， 所以9＋a＝2，解得a＝－7. 答案：－7 4．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________． 解析：由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2. 答案：－2 5．log20.25＋ln＋24·log3＋lg 4＋2lg 5－＝________． 解析：log20.25＋ln＋24·log3＋lg 4＋2lg 5－ ＝log2＋ln e＋2log23＋lg 4＋lg 52－ ＝－2＋＋81＋lg 100－2＝. 答案： 专题二　指数、对数函数的图象及性质 [重要提醒] 1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题． 2．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． [典型问题] 1．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) 解析：B　由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图象A错误．选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知B正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B． 2．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝(　　) A．－5 B．－6 C．5 D．6 解析：C　由已知，可知函数y＝f(x)与函数y＝2x互为反函数，则f(x)＝log2x.当x＞0时，g(x)＝log2x－x，则g(8)＝log28－8＝3－8＝－5.因为g(x)为奇函数，所以g(－8)＝－g(8)＝5.故选C． 3．(多选题)已知f(x)＝|lg x|，当a＜b时，f(a)＝f(b)，则下列关系式正确的是(　　) A．0＜a＜1，b＞1 B．ab＝10 C．－b2＜ D．2a＋2b＞4 解析：ACD　由题意得0＜a＜b，所以0＜a＜1，b＞1成立，由f(a)＝f(b)，则|lg a|＝－lg a＝lg＝lg b，则ab＝1.由＝b，得－b2＝b－b2＝－(b－)2＋＜. 2a＋2b＞2＞2＝4，故选ACD． 4．若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 解析：B　2a＋log2a＝22b＋log2b＜22b＋log2(2b)，令f(x)＝2x＋log2x，则f(a)＜f(2b)，又易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a＜2b，故选B． 5．已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：A　a＝log53∈(0，1)，b＝log85∈(0，1)， 则＝＝log53·log58＜()2＝()2＜1，∴a＜b.又∵134＜85，∴两边同取以13为底的对数得log13134＜l