第四章 拓展培优 一元二次方程根的分布问题-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

求解一元二次方程根的分布问题的基本方法是利用判别式和根与系数的关系．解决一元二次方程的根的分布问题的基本思路是： 先设出与一元二次方程对应的函数f(x)，根据方程根的分布，作出符合题意的二次函数的大致图象，由图象可得到f(x)在所给取值范围的端点的函数值和判别式的符号，以及图象对称轴的位置等情况，从而找到需要满足的条件． 常见的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根的分布表如下．(令f(x)＝ax2＋bx＋c，a＞0) 根的分布 图象 条件 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 f(m)＜0 x1，x2∈{x|m＜x＜n} x1，x2有且只 有一个在m～n之间且f(m)· f(n)≠0 f(m)·f(n)＜0 对于a＜0时的情形，将上表图中曲线改为开口向下，同理可推出相应条件． [典例]　已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0. (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数m的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． [解]　设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6， (1)f(x)的大致图象如图所示， ∴f(2)＜0，即4＋4(m－1)＋2m＋6＜0， 得m＜－1， ∴实数m的取值范围为(－∞，－1)． (2)f(x)的大致图象如图所示， ∴ 解得－＜m＜－， ∴实数m的取值范围为(－，－)． (3)方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图1，可得 即∴－3＜m≤－1. 图1　　　　　　图2 图3 ②有一个正根，一个负根，此时如图2，可得f(0)＜0，得m＜－3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图3，可得 ∴m＝－3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(－∞，－1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$