第三章 函数的概念与性质 章末复习课-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

章末复习课 专题一　函数的概念 [重要提醒] 1．由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域． (1)定义域是使函数关系式有意义的自变量的取值集合．若是针对实际问题，还要考虑其实际意义，若是复合函数，则要分清中间变量与自变量． (2)对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量． 2．函数式与函数值 f(a)表示x＝a时f(x)的函数值，是值域内的一个数值，它表示的是常量；f(x)表示自变量为x的函数，它表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6是一个常量． 抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略．求函数值时，同时要结合函数的性质． [典型问题] 1．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域为________． 解析：由题意得 解得x≤1且x≠0. 答案：(－∞，0)∪(0，1] 2．设函数f(x)＝，则f()＋f()的定义域为(　　) A．[，4]　　　　　 B．[2，4] C．[1，＋∞) D．[，2] 解析：B　∵函数f(x)＝的定义域为[1，＋∞)，∴解得2≤x≤4， ∴f()＋f()的定义域为[2，4]． 3．(2023·青岛市期中测试)已知函数y＝的定义域为[－3，6]，则a的值为________，b的值为________． 解析：由题意得不等式ax2＋bx＋18≥0的解集为[－3，6]，因此x＝－3和x＝6是方程ax2＋bx＋18＝0的两个根，且a<0，于是解得 故a的值为－1，b的值为3. 答案：－1　3 4．(2023·南京市高一检测)已知f(x)＝，那么f()＋f()＋f()＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值为________． 解析：因为f(x)＋f()＝＋＝＋＝0， 所以f()＋f(4)＝0，f()＋f(3)＝0， f()＋f(2)＝0. 又f(0)＝1，f(1)＝0， 所以原式＝1. 答案：1 5．已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)． (1)求f(1)的值； (2)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q为常数)，求f(36)的值． 解：(1)令a＝1，b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0. (2)法一：令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p. 令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q. 令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q. 法二：因为36＝22×32，所以f(36)＝f(22×32)＝f(22)＋f(32)＝f(2×2)＋f(3×3)＝f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3)＝2f(2)＋2f(3)＝2p＋2q. 专题二　函数的图象 [重要提醒] 作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表；描点；连线． (2)变换法——熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移：y＝f(x)y＝f(x±h)； y＝f(x)y＝f(x)±k(其中h>0，k>0)． ②对称：y＝f(x)关于y轴对称y＝f(－x)； y＝f(x)关于x轴对称y＝－f(x)； y＝f(x)关于原点对称y＝－f(－x)． ③要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可． 要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后保持y轴上及其右侧的图象不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可． [典型问题] 1．利用平移变换作函数图象 [典例1]　将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．所得的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝2(x＋2)2－6 B．y＝2x2－6 C．y＝2x2 D．y＝2(x＋2)2 [解析]　根据函数图象的平移规律得到平移后的图象对应的解析式为y＝2[(x＋1)－1]2－3＋3＝2x2. [答案]　C 2．利用对称变换作函数图象 [典例2]　作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，它们之间有怎样的关系． [解]　在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示． 观察图象可知，函数y＝的图象可由函数y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；函数y＝的图象可由函数y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；函数y＝的图象可由函数y＝的图象作关于原点的对称变换得到． 3．利用翻折变换作函数的图象 [典例3]　作出函数y＝|x