第三章 函数的概念与性质 拓展培优-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

没有给出具体数学表达式的函数，称为抽象函数．若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数． 理解抽象函数或复合函数的定义域，应明确以下几点： (1)函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数f(g(x))的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围； (2)f(t)，f(x)，f(φ(x))，f(h(x))四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同； (3)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围； (4)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域． 类型一　已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域 [典例1]　(1)若函数f(x)的定义域为(－1，2)，则函数f(2x＋1)的定义域为________． (2)函数f(x)的定义域为(0，3)，则函数y＝的定义域是________． [解析]　(1)f(x)的定义域为(－1，2)，即f(x)中x的取值范围为(－1，2)，则f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1，2)求得． 由－1<2x＋1<2，得－1<x<， ∴f(2x＋1)的定义域为(－1，)． (2)函数f(x)的定义域为(0，3)，对于函数y＝，有解得－1<x<2且x≠1.因此函数y＝的定义域为(－1，1)∪(1，2)． [答案]　(1)(－1，)　(2)(－1，1)∪(1，2) 类型二　已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域 [典例2]　已知函数f(3x－2)的定义域是[－2，0)，则函数f(x)的定义域是________；若函数g(x)的定义域是(－2，4]，则g(－2x＋2)的定义域是________． [解析]　因为函数f(3x－2)的定义域是[－2，0)，所以x∈[－2，0)，所以3x－2∈[－8，－2)，所以f(x)的定义域是[－8，－2)；若函数g(x)的定义域是(－2，4]，所以－2x＋2∈(－2，4]，解得x∈[－1，2)，所以函数g(－2x＋2)的定义域是[－1，2)． [答案]　[－8，－2)　[－1，2) 类型三　已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域 [典例3]　若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x－1)的定义域为________． [解析]　由f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，得－1<x<2， ∴－1<2x＋1<5，即f(x)的定义域为(－1，5)．由－1<x－1<5，得0<x<6，∴f(x－1)的定义域为(0，6)． [答案]　(0，6) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 含参数的二次函数最值问题，主要是指二次函数解析式中含参数或者定义域(区间)含有参数，导致抛物线的开口方向，对称轴，或区间不确定． 常见的类型有： (1)动轴定区间；(2)定轴动区间；(3)动轴动区间． 解题方法主要是分类讨论，讨论对称轴与区间的相对位置关系，根据单调性求最值． 类型一　动轴定区间 [典例1]　已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值和最大值． [解]　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]．当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；最大值为f(－1)＝1＋2a＋2＝3＋2a. 当0≤a<1时，函数f(x)的图象如图(2)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间(a，1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2； 最大值为f(－1)＝3＋2a(f(－1)>f(1))， 当－1≤a<0时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，0)上单调递减，在(a，1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2，最大值为f(1)＝3－2a(f(－1)<f(1))， 当a≤－1时，函数f(x)的图象如图(4)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.最大值为f(1)＝3－2a. (1)　　　　　　　(2) (3)　　　　　　(4) 综上所述，f(x)min＝ f(x)max＝ 类型二　定轴动区间 [典例2]　(2022·九江市高一期中测试)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g