5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 学习目标 1．理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题． 知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 　 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 单调性 增区间 [－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 减区间 [＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z x＝2kπ，k∈Z ymin＝－1 x＝－＋2kπ， k∈Z x＝π＋2kπ，k∈Z (1)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数． (2)使得y＝sin x取得最大值1，必须使x＝2kπ＋；取得最小值－1，必须使x＝2kπ－，(k∈Z)． (3)使得y＝cos x取得最大值1，必须使x＝2kπ；取得最小值－1，必须使x＝2kπ＋π，(k∈Z)． [微练1]　在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是(　　) A．[0，π] B．[，] C．[－，] D．[π，2π] 答案：C [微练2]　函数y＝1－2cos x的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，3 B．－1，1 C．0，3 D．0，1 答案：A [微练3]　函数y＝sin x(≤x≤)的值域为________． 答案：[，1] [微练4]　函数y＝－cos x的单调递减区间是________；单调递增区间是________． 答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 题型一　正弦函数、余弦函数的单调区间 　(1)(多选题)下列是函数y＝|cos x|的增区间的是(　　) A．[－，0] B．[0，] C．[π，π] D．[π，2π] (2)函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的减区间为________． [解析]　(1)作出函数y＝|cos x|的图象如图． 由函数图象知，y＝|cos x|的增区间为[－，0]，[，π]，[，2π]．故选AD． (2)y＝sin(－x)＝－sin(x－)， 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ， 得－＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z， 当k＝0时，得－≤x≤π， 当k＝1时，得π≤x≤π， 又∵x∈[0，2π]， ∴函数的减区间为[0，π]，[π，2π]． [答案]　(1)AD　(2)[0，π]，[π，2π] 求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧 (1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； (2)整体代换：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数． 1．求函数y＝sin(3x＋)，x∈[－，]的单调递减区间． 解：由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 得＋≤x≤＋(k∈Z)． 又x∈[－，]， 所以函数y＝sin(3x＋)，x∈[－，]的单调递减区间为[－，－]，[，]． 2．求函数y＝cos(＋)的单调区间． 解：当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增， 故函数的单调递增区间是[4kπ－π，4kπ－π](k∈Z)． 当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时， 函数单调递减，故函数的单调递减区间是[4kπ－π，4kπ＋π](k∈Z)． 题型二　比较三角函数值的大小 　(链接教材P206例4)比较下列各组数的大小： (1)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4； (2)cos(－)与cos . [解]　(1)因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)且π－3<1<π－2，都在[0，]上， y＝sin x在[0，]上单调递增， 所以0<sin 3<sin 1<sin 2，因为π<4<， 所以sin 4<0， 故sin 4<sin 3<sin 1<sin 2. (2)cos(－)＝cos ， cos ＝cos(2π－)＝cos(－)＝cos . 因为0<<<，y＝cos x在[0，]上是减函数， 所以cos >cos ，即cos(－)>cos . 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 3．不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 与cos . 解：(1)∵函数y＝sin x