5.4.2 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 学习目标 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学和函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．　 知识点一　正弦函数、余弦函数的周期 1．周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． [微练1]　若函数f(x)的周期为3，且f(1)＝－2，则f(7)＝________． 解析：f(7)＝f(2×3＋1)＝f(1)＝－2. 答案：－2 [微练2]　下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x 答案：D 知识点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 　正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，余弦函数是偶函数，余弦曲线关于y轴对称． [微练3]　函数y＝2sin(2x＋)是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 答案：B [微练4]　函数y＝3－cos x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线x＝对称 答案：B 题型一　求三角函数的周期 　(链接教材P201例2)求下列函数的周期： (1)y＝2sin(x＋)，x∈R； (2)y＝1－2cos(x)，x∈R； (3)y＝|sin x|，x∈R. [解]　(1)法一：(定义法)∵2sin[(x＋4π)＋] ＝2sin[(x＋)＋2π]＝2sin(x＋)， ∴自变量x至少要增加到x＋4π， 函数y＝2sin(x＋)，x∈R的值才能重复出现， ∴函数y＝2sin(x＋)，x∈R的周期是4π. 法二：(公式法)：T＝＝4π. (2)法一：(定义法)∵1－2cos[(x＋4)]＝1－2cos(x＋2π)＝1－2cos(x)， ∴自变量x至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos(x)，x∈R的值才能重复出现， ∴函数y＝1－2cos(x)，x∈R的周期是4. 法二：(公式法)：T＝＝4. (3)作图如下： 观察图象可知最小正周期为π. 求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解． (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 1．(多选题)下列函数中周期为π的是(　　) A．f(x)＝cos(2x＋) B．f(x)＝sin x C．f(x)＝|cos x| D．f(x)＝2sin(－) 解析：AC　对于A，f(x)的周期为T＝＝π； 对于B，由y＝sin x的图象可知T＝2π； 对于C，由y＝|cos x|的图象可知T＝π； 对于D，T＝＝6π.故选AC． 2．函数y＝cos(x＋2023)的周期为________． 答案：6 题型二　三角函数的奇偶性 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin(－x＋)； (2)f(x)＝sin xcos x； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝. [解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 因为f(x)＝sin(－x＋)＝cosx， 所以f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)， 所以f(x)＝sin(－x＋)是偶函数； (2)函数的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)， 所以f(x)＝sin xcos x为奇函数； (3)由得cos x＝1， 所以函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称． 当cos x＝1时，f(x)＝0，f(x)＝±f(－x)， 所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数； (4)因为1＋sin x≠0，所以sin x≠－1， 所以x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. 因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数． 判断函数奇偶性的两个关键点 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f(－x)与f(x)的关系． 对于三角函数奇偶性的判断，有时也可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 3．判