5.2.2 同角三角函数的基本关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

5.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1．理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．　 知识点　同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：＝tan_α(α≠＋kπ，k∈Z)． 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 2．公式变形与常用结论 公式变形：sin2α＋cos2α＝1 ⇒ tan α＝⇒ 常用结论：x∈(0，)，sin x＜x＜tan x. [微练1]　下列四个结论中可能成立的是(　　) A．sin α＝且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．α是第二象限角时，tan α＝－ 解析：B　根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，所以B成立，而A，C，D都不成立． [微练2]　已知cos α＝－，α∈(π，)，则sin α＝________． 解析：sin2α＝1－cos2α＝1－(－)2＝，sin α＝±. ∵α∈(π，)，∴sin α＝－. 答案：－ [微练3]　化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________． 解析：(1＋tan2α)·cos2α ＝(1＋)·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1. 答案：1 题型一　利用同角三角函数基本关系求值 角度1　已知一个三角函数值求其他三角函数值 　(链接教材P183例6)(1)已知sin α＝，求cos α，tan α的值； (2)已知α∈(π，)，tan α＝2，求cos α的值． [解]　(1)∵sin α＝>0， ∴α是第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝； 当α为第二象限角时，cos α＝－， tan α＝－. (2)由已知得 由①得sin α＝2cos α代入②得 4cos2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝，又α∈(π，)，∴cos α<0， ∴cos α＝－. 已知一个三角函数值求其他三角函数值的步骤 (1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限； (2)对角所在的象限进行分类讨论； (3)利用两个基本关系式求出其他三角函数值； (4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值． 角度2　利用弦切互化求sin α、cos α齐次式的值 　已知tan α＝2. (1)求的值； (2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值． [解]　(1)法一：(代入法)∵tan α＝2， ∴＝2，∴sin α＝2cos α. ∴＝＝－. 法二：(弦化切)∵tan α＝2. ∴＝＝＝ ＝－. (2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α ＝ ＝＝＝. 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的值的方法 (1)分式的分子、分母都是关于sin α，cos α的一次齐次式时，可将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值； (2)在求解关于sin α，cos α的二次齐次式的值时，可把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． 1．已知tan α＝－，<α<π，则sin α＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：D　由tan α＝＝－，得 cos α＝－2sin α. 又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝. 因为<α<π，所以sin α＝.故选D． 2．已知＝2，则tan α＝________， ＝________． 解析：由＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. ＝ ＝＝－. 答案：3　－ 题型二　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 　已知sin α＋cos α＝－，0<α<π. (1)求sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值． [解]　(1)由sin α＋cos α＝－得 (sin α＋cos α)2＝， sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝， sin αcos α＝－. (2)因为0<α<π，sin αcos α<0， 所以sin α>0，cos α<0⇒sin α－cos α>0. (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， 所以sin α－cos α＝. sin θ±cos θ，sin θcos θ三者的关系 (1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θcos θ之间的关系，通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos